Determine o valor de \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\). A) 0 B) 1 C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{5}{6}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Podemos simplificar a integral calculando a integral de cada termo separadamente: 1. \(\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}\) 2. \(\int_0^1 -4x^3 \, dx = -4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1\) 3. \(\int_0^1 6x^2 \, dx = 6 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\) 4. \(\int_0^1 -4x \, dx = -4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2\) 5. \(\int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1\) Agora, somamos todos os resultados: \[ \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} + 0 = \frac{1}{5} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{1}{5}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode ter cometido um erro na formulação da pergunta ou nas opções. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!