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Matemática 
Financeira
Rio de Janeiro
UVA
2016
Vicente Eudes Veras da Silva
Matemática 
Financeira
Rio de Janeiro
UVA
2016
Copyright © UVA 2016
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográfico 
da Língua Portuguesa.
ISBN: 978-85-69287-23-0 
Autoria do Conteúdo
Vicente Eudes Veras da Silva
Design Instrucional
Sylvia Regina Silva Fernandes
Projeto Gráfico
UVA
Diagramação
Isabelle Martins
Revisão
Débora Silvestre Costa
Lydianna Lima
Ficha Catalográfica elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UVA.
Biblioteca Maria Anunciação Almeida de Carvalho.
S586 Silva, Vicente Eudes Veras da 
 
 Matemática financeira [livro eletrônico] / Vicente 
 Eudes Veras da Silva – Rio de Janeiro : UVA, 2016.
 
 2,7 MB. 
 ISBN 978-85-69287-23-0 
 Disponível também impresso.
 
 1. Matemática financeira. 2. Títulos (Finanças) - Brasil. 
 3. Taxas de juros - Brasil. I. Universidade Veiga de 
 Almeida. II. Título. 
 
 CDD – 650.01513
SUMÁRIO
Apresentação...............................................................................................................7
Sobre o autor................................................................................................................8
Capítulo 1 - Fundamentos da matemática financeira e 
regime de capitalização simples.................................9
Conceitos fundamentais............................................................................10
Regime de capitalização simples........................................................21
Taxas de juros: efetiva, nominal e proporcional............................36
Referências......................................................................................................41
Capítulo 2 - Regime de capitalização composta e taxa 
de juros...........................................................................43
Regime de capitalização composta....................................................44 
Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e 
planilhas..........................................................................................................52
Taxas de juros: efetiva, equivalente, bruta e líquida............66
Referências......................................................................................................77
Capítulo 3 - Séries de pagamentos e sistemas de 
amortização....................................................................79
Séries de pagamentos...............................................................................80 
Sistemas de amortização........................................................................87 
Determinação de séries de pagamentos e planos de amortização 
por meio de recursos eletrônicos.........................................................97 
Referências...................................................................................................107
Capítulo 4 - Análise de fluxo de caixa e equivalência de 
capital.......................................................................109
Valor presente líquido – VPL................................................................110 
Taxa interna de retorno – TIR...........................................................120 
Equivalência de capital...........................................................................128
Referências....................................................................................................134
Considerações finais.....................................................135
7
APRESENTAÇÃO
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil para a análise de al-
gumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de 
consumo e consiste em empregar procedimentos matemáticos para 
simplificar uma operação financeira. Ela tem por objetivo estudar as 
diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como 
as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação ou 
obtenção de recursos financeiros.
Assim, este livro foi produzido com o objetivo de permitir que você co-
nheça e aprenda mais profundamente os assuntos aqui abordados, sem 
a necessidade de estar diante de um computador ou mesmo on-line.
No entanto, alertamos para o fato de que todo e qualquer conhecimen-
to deve ser complementado por pesquisas em outras fontes. Nas refe-
rências ao final de cada capítulo você encontrará uma lista bastante 
interessante, que poderá fornecer-lhe valioso conhecimento comple-
mentar a respeito de todos os temas sobre os quais aqui discorremos.
Desejamos que você aproveite ao máximo esta experiência e que a lei-
tura desta obra promova uma oportunidade de reflexão, contribuindo 
efetivamente para o seu enriquecimento cultural e acadêmico.
......................................................................................................................................................................................................................
8
SOBRE O AUTOR
Vicente Eudes Veras da Silva é doutor e mestre em Educação pela 
Universidade Estácio de Sá — Unesa. É também especialista em Ma-
temática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras — UFLA, 
especialista em Docência do Ensino Superior pela Universidade Caste-
lo Branco — UCB e bacharel em Administração, também pela Unesa. 
Licenciado e bacharel em Matemática pela Faculdade de Humanidades 
Pedro II — Fahupe, atua como professor universitário das disciplinas 
de Análise de Investimentos, Estatística, Matemática, Matemática Fi-
nanceira, Métodos Quantitativos e Raciocínio Lógico em cursos de gra-
duação e pós-graduação nas áreas de Administração, Economia, Finan-
ças, Licenciaturas e Pedagogia. 
Currículo Lattes: <http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visuali-
zacv.do?id=K4779432P7>
9Conceitos fundamentais
......................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 1 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA E REGIME DE 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Este capítulo aborda os fundamentos e conceitos básicos 
da matemática financeira, além do regime de capitalização 
simples e sua aplicação na resolução de problemas de ma-
temática financeira.
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples10
......................................................................................................................................................................................................................
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
O que é a matemática financeira?
A matemática financeira possui no dinheiro e no tempo 
os seus objetos de trabalho e estudo. Ela dedica-se, entre 
outras coisas, ao estudo da relação que existe entre essas 
duas quantidades. Podemos citar, ainda, o estudo dos regi-
mes de capitalização (simples ou composto), séries de pa-
gamento e amortização e avaliação de investimentos como 
outros assuntos tratados por esse ramo da matemática.
Origens da matemática financeira
Tanto a moeda como o dinheiro são o resultado de uma 
evolução que começou ainda nos tempos antigos. Existem 
registros informando que os babilônios cediam sementesaos agricultores com a condição de as receberem de volta, 
acrescidas de uma parte da colheita.
Atualmente, os conceitos da matemática financeira estão 
interligados a várias situações do dia a dia de cada cida-
dão, desde uma simples compra em um supermercado até 
situações mais complexas, como a obtenção dos melhores 
resultados em aplicações financeiras.
Objetivo da matemática financeira
Quando uma pessoa física ou jurídica dispõe de uma im-
portância em dinheiro, por certo período é possível aplicá-
-la em uma operação financeira, à determinada taxa, a fim 
de que renda “juros”. 
11Conceitos fundamentais
......................................................................................................................................................................................................................
Por outro lado, se essa mesma pessoa necessita de um 
empréstimo, ela deverá quitá-lo — acrescido de juros — 
após decorrido o prazo. Em ambos os casos, o valor dos 
juros varia de acordo com o prazo da operação, a quantia 
aplicada ou emprestada e a taxa de juros pactuada.
O sistema financeiro mundial
O Banco Central Europeu — BCE gere o euro e define e 
executa a política econômica e monetária da União Euro-
peia – UE, tendo como principais objetivos manter a esta-
bilidade dos preços e apoiar o crescimento econômico e a 
criação de empregos.
As atribuições do Sistema Europeu de Bancos Centrais – 
SEBC e do Eurossistema encontram-se definidas no Trata-
do sobre o Funcionamento da União Europeia – TFUE e es-
pecificadas no Protocolo relativo aos Estatutos do Sistema 
Europeu de Bancos Centrais e do Banco Central Europeu, a 
seguir designado “Estatutos”, anexado ao TFUE.
De modo geral, o TFUE faz referência ao SEBC, e não ao 
Eurossistema, uma vez que foi ele formulado sob a pre-
missa de que todos os Estados-membros da UE acabariam 
por adotar o euro. O Eurossistema é composto pelo BCE e 
pelos bancos centrais nacionais – BCN dos Estados-mem-
bros da UE cuja moeda é o euro, ao passo que o SEBC 
compreende o BCE e os BCN de todos os Estados-membros 
da UE (UNIÃO EUROPEIA, n. 1, art. 282, 2010). Enquanto 
existirem Estados-membros da UE cuja moeda não seja o 
euro, será necessário fazer uma distinção entre o Euros-
sistema e o SEBC.
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples12
......................................................................................................................................................................................................................
Banco Central Europeu em Frankfurt, Alemanha.
O papel do Federal Reserve – Fed, banco central dos Estu-
dos Unidos, é um dos mais complexos da economia não 
só norte-americana, mas mundial. Formalmente conhecido 
como Federal Reserve, o Fed é o porteiro da economia nor-
te-americana. Ele regulamenta as instituições financeiras, 
administra o dinheiro da nação e influencia a economia 
mundial. Elevando e reduzindo as taxas de juros, criando 
dinheiro e usando alguns outros truques, assim como os 
demais bancos centrais dos outros países, ele tanto pode 
estimular como desacelerar a economia. Essa manipulação 
ajuda a manter a inflação baixa, as altas taxas das aplica-
ções e o rendimento da produção.
13Conceitos fundamentais
......................................................................................................................................................................................................................
Federal Reserve (banco central norte-americano).
O sistema financeiro brasileiro
O Banco Central do Brasil – Bacen foi criado pela Lei nº 
4.595, de 31 de dezembro de 1964, e é o principal exe-
cutor das orientações do Conselho Monetário Nacional e 
o responsável por garantir o poder de compra da moeda 
nacional, tendo por objetivos:
• Zelar pela adequada liquidez da economia.
• Manter as reservas internacionais em nível ade-
quado.
• Estimular a formação de poupança.
• Zelar pela estabilidade e promover o permanente 
aperfeiçoamento do sistema financeiro.
Dentre suas atribuições estão:
• Emitir papel-moeda e moeda metálica.
• Executar os serviços do meio circulante.
• Receber recolhimentos compulsórios e voluntá-
rios das instituições financeiras e bancárias.
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples14
......................................................................................................................................................................................................................
• Realizar operações de redesconto e empréstimo 
às instituições financeiras.
• Regular a execução dos serviços de compensação 
de cheques e outros papéis.
• Efetuar operações de compra e venda de títulos 
públicos federais.
• Exercer o controle de crédito.
• Exercer a fiscalização das instituições financeiras.
• Autorizar o funcionamento das instituições fi-
nanceiras.
• Estabelecer as condições para o exercício de quais-
quer cargos de direção nas instituições financeiras.
• Vigiar a interferência de outras empresas nos 
mercados financeiro e de capitais. 
• Controlar o fluxo de capitais estrangeiros no país.
Sua sede fica em Brasília, capital do país, mas possui re-
presentações nas capitais dos estados do Rio Grande do 
Sul, Paraná, São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Bahia, 
Pernambuco, Ceará e Pará.
Sede do Bacen, em Brasília.
15Conceitos fundamentais
......................................................................................................................................................................................................................
Conceitos básicos
Para o domínio da matemática financeira, há seis concei-
tos básicos que devem ser assimilados: razão, proporção, 
regra de três, juros, taxa de juros e fluxo de caixa.
• Razão:
Razão é o quociente de dois números. Observemos 
o seguinte exemplo: o salário de Carlos é o triplo 
do de Ana, ou seja, o quociente entre o salário de 
Carlos e o de Ana é 3. Desse modo, podemos notar 
que o quociente de um número por outro é útil para 
podermos compará-los.
• Proporção:
É a igualdade de duas razões.
Qualquer que seja a proporção, o produto dos ex-
tremos é igual ao produto dos meios. Assim, dados 
os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e 
formando, nessa ordem, uma proporção, o produto 
de a por d será igual ao produto de b por c:
As proporções possuem uma enorme aplicabili-
dade em situações-problema envolvendo informa-
ções comparativas, enquanto, na regra três, a pro-
porcionalidade é usada a fim de calcular o quarto 
valor com base nos três valores estabelecidos pelo 
problema.
a
=
c
a . d = b . c
b d
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples16
......................................................................................................................................................................................................................
• Regra de três:
A regra de três é uma importante ferramenta para a 
resolução de problemas que envolvam vários valores 
dos quais não conhecemos a totalidade. 
Por meio dela, pode-se estabelecer um valor desco-
nhecido.
Exemplo:
1. O investimento de R$ 10.000,00 na melhoria da 
logística de uma empresa gera uma economia de R$ 
2.000,00.
a) Qual será a economia se investirmos R$ 4.000,00?
Então:
10.000 = 4.000 . 2.000
10.000 = 8.000.000
X = R$ 800,00
b) Para termos uma economia de R$ 2.500,00, quan-
to devemos investir?
Então:
2.000 = 10.000 . 2.500
2.000 = 25.000.000
X = R$ 12.500,00
Investimento Economia
10.000 2.000
4.000 X
Investimento Economia
10.000 2.000
X 2.500
17Conceitos fundamentais
......................................................................................................................................................................................................................• Juros:
O juro pode ser definido como a compensação fi-
nanceira obtida por um aplicador durante certo tem-
po ou, ainda, como o custo do capital para uma pes-
soa que, durante certo tempo, usa o capital de outra.
O juro é cobrado em função de um coeficiente, cha-
mado taxa de juros, que é fornecido geralmente em 
termos percentuais e sempre referido a um intervalo 
de tempo, tomado como unidade e denominado pe-
ríodo financeiro.
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponí-
vel no mercado para empréstimos definem qual de-
verá ser a remuneração, mais conhecida como taxa 
de juros. 
Pode ser dito que o juro é o rendimento em dinheiro 
proporcionado pela utilização de uma quantia mo-
netária e por certo período de tempo.
• Taxa de juros:
A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos 
(ou pagos) no fim de um período financeiro e o ca-
pital aplicado.
Ela pode ser representada de duas formas:
• Taxa percentual: ao representar os juros de 
100 (cem) unidades de capital durante o período 
financeiro a que se refere.
• Taxa unitária: ao representar, nas mesmas 
condições, os juros de uma unidade de capital.
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples18
......................................................................................................................................................................................................................
Exemplo: considerando uma taxa de juros de 
12% ao ano:
0,12 ao ano taxa unitária
12% ao ano taxa percentual
Como passar de uma forma para outra? 
Basta seguir as duas regrinhas abaixo:
• Para passar de porcentagem para decimal, divida o 
valor da porcentagem por 100. 
Exemplo: 3,5% = 3,5 ÷ 100 = 0,035.
• Para passar de decimal para porcentagem, multi-
plique o valor decimal por 100. 
Exemplo: 0,18 = 0,18 × 100% = 18%.
• Conceito de fluxo de caixa:
Fluxo de caixa (de uma empresa, de um financiamen-
to, de um investimento, etc.) é um conjunto de entra-
das e saídas de caixa (dinheiro) ao longo do tempo.
A sua representação ao longo do tempo pode ser 
feita mediante um diagrama, como mostra a figu-
ra abaixo, no qual a escala horizontal representa o 
tempo (em meses, trimestres, semestres, anos, etc.), 
enquanto as flechas para baixo correspondem a saí-
das de caixa ou despesas, tendo sinais negativos, e 
12% =
12
= 0,12
100
19Conceitos fundamentais
......................................................................................................................................................................................................................
as flechas para cima, a entradas de caixa ou receitas, 
que terão sinais positivos.
O instante zero representa a data de hoje: é o mo-
mento atual, o instante da decisão a ser tomada.
 
O tempo 1 ocorre daqui a um ano e representa o 
instante final do ano 1, ou seja, 31 de dezembro do 
primeiro ano.
Da mesma forma, o tempo 2 representa o instante 
final do ano 2, que começa em 1º de janeiro e termi-
na em 31 de dezembro do segundo ano, e os tempos 
3, 4 e 5, os instantes finais referentes ao terceiro, 
quarto e quinto anos, respectivamente. 
Observe que os períodos de um fluxo podem repre-
sentar não só anos, mas também meses, semanas, 
dias, trimestres ou qualquer período que se queira.
0 3 5
6 n (tempo)
$
$
$ $
$
$
$
$
41 2
0
PV
3
5 7
6
n
4
1 2
FVReceitas/entradas
Despesas/saídas
(período de tempo)
Brazil
Destacar
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples20
......................................................................................................................................................................................................................
• A linha horizontal representa o tempo. 
• As setas para baixo são os valores investidos, ou 
seja, as saídas. 
• E as setas para cima são os retornos do investi-
mento, ou entradas.
Observe que valor futuro – FV (future value) no pe-
ríodo n é equivalente ao valor presente – PV (present 
value) no período zero, se levarmos em conta a taxa 
de juros – i. 
Observação importante: ao entrar com o PV em 
uma calculadora financeira, deve-se seguir esta con-
venção: mude o sinal da quantia considerada como 
PV para negativo usando a tecla CHS, que significa 
uma abreviação de change signal, ou seja, “mudar 
o sinal”. 
21Regime de capitalização simples
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Os juros que incidem sobre um empréstimo serão chama-
dos de juros com capitalização simples se, a cada período 
que durar o empréstimo, eles forem calculados sempre 
em cima do valor inicial do empréstimo. 
Nessa categoria, os juros de cada período são sempre cal-
culados em função do capital inicial. 
Considere um poupador que investiu $1.000 em uma apli-
cação de renda fixa que lhe renderá juros simples à taxa 
de 10% a.m. durante quatro meses. Qual será o saldo ao 
final desse período?
Ano
Saldo 
no início 
do ano
Taxa de 
juros
Base de 
cálculo
Juros do 
período
Saldo 
final 
do ano
1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100
2 $1.100 10% $1.000 $100 $1.200
3 $1.200 10% $1.000 $100 $1.300
4 $1.300 10% $1.000 $100 $1.400
Fórmula geral:
Essa é a fórmula básica, mas podemos dela derivar as que 
seguem abaixo a fim de encontrar o PV, a taxa de juros – i, 
FV = PV . (1 + i . n)
22
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
o valor dos juros a pagar – J ou, ainda, o período de apli-
cação – n.
Em que:
FV: é o valor futuro, que é a soma de juros no período 
mais o principal.
PV: é o PV do principal aplicado.
i: é a taxa de juros expressa em decimais.
J: é o total de juros pagos sobre o principal durante o in-
vestimento.
n: é o período de aplicação.
Observação importante: os números que expressam a 
taxa de juros são acompanhados de uma expressão que 
indica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abre-
viadas da seguinte forma:
a.d. = ao dia.
a.m. = ao mês.
a.t. = ao trimestre.
a.q. = ao quadrimestre.
PV = 
FV
1 + i . n
i = 
FV – PV
PV . n
n = 
FV – PV
i . PV
J = FV – PV = PV . i . n
23Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................
a.s. = ao semestre.
a.a. = ao ano.
Exemplo 1: uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 
a uma taxa de juros simples de 2% a.m. durante 14 meses. 
Determine os juros e o montante dessa aplicação.
Dados: 
n = 14 meses
PV = R$ 1.200,00
I = 2% a.m. = 0,02
FV = ?
Solução: 
FV = PV . (1 + i . n)
FV = 1.200 . (1 + 0,02 . 14)
FV = 1.200 . (1 + 0,28)
FV = 1.200 . 1,28
FV = R$ 1.536,00 (esse é o montante da aplicação).
Somente os juros:
1.536,00 - 1.200,00 = R$ 336,00 (esse é o valor dos juros 
da aplicação).
24
......................................................................................................................................................................................................................Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
Exemplo 1 na HP 12C:
Como calcular os juros e o montante na HP 12C
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Prazo (em dias)
4º Taxas (ao ano)
5º Juros (comercial)
6º Montante (comercial)
Transforme a taxa mensal em anual: 2% a.m. x 12 = 24% a.a.
Transforme o período em dias comerciais (mês de 30 
dias): 14 meses x 30 dias = 420 dias.
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
1.200,00 CHS PV
420 
n
24 
i
f 
INT
 (Aparecerá no visor: 336,00). 
+
 (Aparecerá no visor: 1.536,00).
INT
PV
n
i
+
CHS
f
f
REG
25Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................
Exemplo 2: qual é o capital que deve ser aplicado, com uma 
taxa de juros de 1,5% ao mês, para produzir um montante de 
R$ 10.000,00 no prazo de um ano, no regime de juros simples.
Dados: 
n = 1 ano = 12 meses
FV = R$ 10.000,00
I = 1,5% a.m. = 0,015
PV = ?
Solução: 
FV = PV . (1 + i . n)
10.000 = PV . (1 + 0,015 . 12)
10.000 = PV . (1 + 0,18)
10.000 = PV . (1,18)
PV = 10.000 ÷ 1,18
PV = R$ 8.474,58 (Esse é o capital que deve ser aplicado).
Exemplo 2 na HP 12C:
Como calcular o capital (principal ou VP) 
a partir do montante
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Prazo
3º Taxa de juros
4º 100
5º Montante Principal
ENTER
x
+
f REG
%T
26
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
Transforme a taxa mensal em anual: 1,5% a.m. x 12 = 18% a.a.
Período = 1 ano.
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
1 ENTER
18 x
100 +
10.000 %T (Aparecerá no visor: 8.474,58). 
Exemplo 3: qual é o capital que deve ser aplicado com 
uma taxa de juros de 1,5% ao mês para, ao final de um ano, 
produzir juros de R$ 1.525,42 no regime de juros simples?
Dados: 
n = 1 ano = 12 meses
J = R$ 1.525,42
I = 1,5% a.m. = 0,015
PV = ?
Solução: 
J = FV – PV = PV . i . n
1.525,42 = PV . 0,015 . 12
1.525,42 = PV . 0,18
PV = 1.525,42 ÷ 0,18
PV = R$ 8.474,56
27Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................
Exemplo 3 na HP 12C:
Como calcular o capital (principal ou VP) 
a partir dos juros
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Prazo
3º Taxa de juros
4º Juros Principal
Transforme a taxa mensal em anual: 1,5% a.m. x 12 = 18% a.a.
Período = um ano.
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
1 ENTER
18 x
1.525,42 %T (Aparecerá no visor: 8.474,56). 
Exemplo 4: determine o número de meses (período) ne-
cessários para um capital dobrar de valor, com uma taxa 
de juros de 2% ao mês.
Solução:
Vamos supor um PV = R$ 100,00. Teríamos, então, FV = R$ 
200,00, pois o capital dobra de valor conforme os dados 
da questão.
x
ENTER
f REG
%T
28
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
FV = PV . (1 + i . n)
200 = 100 . (1 + 0,02 . n)
200 = 100 + 2n
2n = 200 – 100
2n = 100
n = 100 ÷ 2
n = 50 meses
Exemplo 4 na HP 12C:
Como calcular o período (prazo de capitalização)
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Juros
4º Taxa de juros Prazo
Sabemos que PV = R$ 100,00 e FV = R$ 200,00, então J = 
R$ 100,00.
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
100 ENTER
100 %T
2 ÷ (Aparecerá no visor: 50).
f REG
%T
÷
ENTER
29Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................
Exemplo 5: se aplicarmos a quantia de R$ 12.000,00 pelo 
prazo de quatro meses, teremos como remuneração desse 
capital a quantia de R$ 1.440,00. Qual é a taxa de juros 
simples ao mês dessa operação?
Dados: 
n = 4 meses
J = R$ 1.440,00
C = R$ 12.000,00
i = ?
Solução: 
J = FV – PV = PV . i . n 
1.440 = 12.000 . i . 4
1.440 = 48.000i
i = 1.440 ÷ 48.000
i = 0,03 (3% a.m.)
Exemplo 5 na HP 12C:
Como calcular a taxa de juros simples 
com base no valor dos juros 
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Juros
4º Prazo Taxa de juros÷
ENTER
f REG
%T
30
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
12000 ENTER
1440 %T
4 ÷ (Aparecerá no visor: 3). 
Exemplo 6: se aplicarmos a quantia de R$ 12.000,00 pelo 
prazo de quatro meses, teremos, ao final desse período, a 
quantia de R$ 13.440,00. Qual a taxa de juros simples ao 
mês dessa operação?
Dados: 
n = 4 meses
PV = R$ 12.000,00
FV = R$ 13.440,00
i = ?
Solução: 
J = FV – PV = PV . i . n
1.440 = 12.000 . i . 4
1.440 = 48.000i
i = 1.440 ÷ 48.000
i = 0,03 (3% a.m.).
31Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................
Exemplo 6 na HP 12C:
Como calcular a taxa de juros simples 
com base no valor do montante
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Montante
4º Prazo Taxa de juros
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
12.000 ENTER
13.440 ∆%
4 ÷ (Aparecerá no visor: 3).
Desconto simples
Na capitalização simples, existem dois tipos básicos de 
desconto simples: o desconto simples racional (por den-
tro) e o desconto simples comercial ou bancário (por fora).
• Desconto simples racional (por dentro)
É o aplicado no VP (também chamado de valor atual 
ou, ainda, valor descontado) do título n períodos antes 
do vencimento, ou seja, é o mesmo que juros simples. 
D = PV . i . n
÷
ENTER
f REG
∆%
32
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
O i representa a taxa de desconto, e n, o prazo. E, 
para obter o PV, basta subtrair o valor do desconto 
do VF do título, como segue:
 
PV = FV – D
Daí que:
PV = FV – PV . i . n
FV = PV + PV . i . n
FV = PV . (1 + i . n)
Exemplo 7: uma pessoa descontou uma nota promissória 
no valor de R$ 20.000,00 com vencimento em quatro me-
ses, recebendo um total de R$ 19.000,00. Determine a taxa 
de desconto na modalidade de desconto simples racional 
(por dentro).
Dados:
FV = 20.000,00
PV = 19.000,00
n = 4 meses
i = ? 
 
Solução:
D = FV – PV = 20.000,00 – 19.000,00 = 1.000,00
 
Então:
FV = PV . (1 + i . n)
20.000 = 19.000 . (1 + i . 4)
20.000 = 19.000 + 76.000i)
76.000i = 1.000
33Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................i = 1.000 ÷ 76.000
I = 0,0132 (= 1,32% a.m.).
Exemplo 7 na HP 12C:
Como calcular a taxa de desconto na modalidade 
de desconto racional simples (por dentro)
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Valor atual (VP)
3º Valor Nominal (VF)
4º Prazo Taxa de desconto
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
19.000 ENTER
20.000 ∆%
4 ÷ (Aparecerá no visor: 1,31579) aprox. 1,32% a.m.
• Desconto simples comercial (por fora)
É aquele em que a taxa de desconto incide sempre 
sobre o VF, também chamado de valor nominal. Ele 
é utilizado no Brasil principalmente nas chamadas 
operações de “desconto de duplicatas”, que são rea-
lizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também 
conhecido como desconto bancário ou comercial. 
D = FV . i . n
÷
ENTER
f REG
∆%
34
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
O i representa a taxa de desconto, e n, o prazo. E, 
para obter o VP, basta subtrair o valor do desconto 
do VF do título, como segue:
 
PV = FV – D
Daí que:
PV = FV – FV . i . n
PV = FV . (1– i . n)
Exemplo 8: uma pessoa descontou uma nota promissó-
ria no valor de R$ 20.000,00 com vencimento em quatro 
meses, recebendo um total de R$ 19.000,00. Determine 
a taxa de desconto na modalidade de desconto simples 
comercial (por fora).
Dados:
FV = 20.000,00
PV = 19.000,00
n = 4 meses
i = ? 
 
Solução:
D = FV – PV = 20.000,00 – 19.000,00 = 1.000,00
 
Então:
PV = FV . (1 – i . n)
19.000 = 20.000 . (1 – i . 4)
19.000 = 20.000 – 80.000i
80.000i = 1.000
35Regime de capitalização simples
......................................................................................................................................................................................................................
i = 1.000 ÷ 80.000
I = 0,0125 (= 1,25% a.m.).
Exemplo 8 na HP 12C:
Como calcular a taxa de desconto na modalidade 
de desconto comercial simples (por fora)
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Valor nominal
3º Valor do desconto
4º Prazo Taxa de desconto
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores)
20.000 ENTER
1.000 %T
4 ÷ (Aparecerá no visor: 1,25). 
÷
ENTER
f REG
%T
36
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
TAXAS DE JUROS: EFETIVA, NOMINAL E 
PROPORCIONAL
Os juros pagos pelo consumidor
Ao comprar a prazo, o consumidor está contraindo uma 
dívida que deverá ser paga em um período predetermina-
do. É preciso ter muito cuidado e atenção, pois, quando 
se parcela o valor de um determinado produto, além de 
pagar pelo que está comprando, o consumidor também 
pagará pelo prazo que lhe está sendo cedido. 
Quase sempre a compra a prazo não é vantajosa, porque 
os juros cobrados fazem com que o consumidor pague 
muito mais do que o valor real do produto que está com-
prando. Por isso, é preciso atenção com a taxa de juros e 
cautela antes de fechar um negócio.
O ideal é tentar poupar e fazer o pagamento à vista, ne-
gociando um desconto no preço de vitrine. Alguns comer-
ciantes anunciam seus produtos com os juros embutidos, 
a fim de estimular o consumidor a parcelar sua compra. 
Assim, eles podem efetivar a venda a prazo afirmando que 
o valor cobrado é o mesmo que à vista.
Trata-se de uma atitude de má-fé, realizada para ludibriar 
e enganar o consumidor, e que proporciona uma lucrativi-
dade exagerada para o comerciante que usa esse artifício. 
37Taxas de juros: efetiva, nominal e proporcional
......................................................................................................................................................................................................................
Muitas vezes, o consumidor fecha negócios sem sequer 
saber o valor dos juros ele está se comprometendo a pa-
gar. Ele ouve na loja a oferta de que poderá pagar o bem 
em suaves prestações, com juros fixos e outras facilida-
des, invariavelmente apresentadas como vantagens.
Contudo, é preciso atenção e não esquecer que, quanto 
menor a taxa de juros, melhor será a opção da compra 
a prazo. 
• Taxa efetiva:
É aquela em que a unidade de referência de seu tem-
po coincide com as unidades de tempo dos perío-
dos de capitalização.
• 2% a.m., capitalizados mensalmente.
• 3% a.t., capitalizados trimestralmente.
• 5% a.s., capitalizados semestralmente.
• 8% a.a., capitalizados anualmente.
• Taxa nominal:
É aquela em que a unidade de tempo de referência 
não coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização. 
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada, não 
representa uma taxa efetiva. O que se deve buscar é 
a taxa efetiva contida na taxa nominal.
• 72% a.a., capitalizados mensalmente, representam 
uma taxa efetiva de 6% a.m.
38
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
• 40% a.a., capitalizados semestralmente, represen-
tam uma taxa efetiva de 20% a.s.
Observação: evidentemente, a taxa anual equiva-
lente a essa taxa efetiva embutida é maior do que a 
taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equiva-
lência é feita no regime de juros compostos (veja o 
tópico 3 do capítulo 2).
• Taxa proporcional:
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, 
ao serem aplicadas a um principal (capital) idêntico, 
durante o mesmo prazo, produzirem um montante 
acumulado igual ao final daquele tempo, no regime 
de juros simples. 
O conceito de taxas proporcionais está, portanto, di-
retamente ligado ao regime de capitalização simples. 
Desse modo, considerando o período de um ano, as 
seguintes taxas são proporcionais entre si:
1% a.m. 3% a.t. 6% a.s. 12% a.a.
Os cartões de crédito estão entre as linhas de 
crédito com os mais altos juros
Engana-se quem acha que os custos do cartão de crédito 
(para o consumidor) resumem-se a taxas de anuidade. Para 
entender, precisamos olhar para a outra ponta: o lojista.
Para ele, o pagamento via cartão é mais custoso, pois ele 
precisa: 
39Taxas de juros: efetiva, nominal e proporcional
......................................................................................................................................................................................................................
• Dar uma fatia do retorno das vendas às operado-
ras de cartões. 
• Pagar pelo aluguel das maquininhas. 
• Arcar com o custo da espera para receber o di-
nheiro das vendas, que não cai imediatamente no 
seu caixa.
Assim, parte desses custos é repassada para os preços fi-
nais de todo produto. Ou seja, a parcela dos gastos é ban-
cada justamente pelo consumidor. 
E a lei não livra o consumidor de gastar mais que a anuidade 
que ele já paga quando decide comprar com cartão.
Portanto, os cartões de crédito estão entre as linhas de 
crédito com os mais altos juros.
Por isso, eles devem ser usados com cuidado e pagos inte-
gralmente, para evitar a incidência de juros.
Para encontrar as melhores taxas, é importante pesquisar 
os valores cobrados em cada instituição. 
O Bacen publicou em sua página na internet tabelas com 
as taxas de juros cobradas por cada instituição financeira 
em várias operações de crédito, como cheque especial, cré-
dito pessoal, financiamento de veículos e compra de bens. 
Veja quais são os bancos quecobram os maiores e os me-
nores juros do mercado em: <http://www.bcb.gov.br/pt-
-br/sfn/infopban/txcred/txjuros/Paginas/default.aspx>.
40
......................................................................................................................................................................................................................
Fundamentos da matemática financeira e regime de capitalização simples
A matemática financeira é o ramo da matemática que es-
tuda o comportamento do dinheiro no tempo e tem por 
objetivo o manuseio, a transformação e a comparação de 
fluxos de caixa. Neste capítulo, abordamos os fundamen-
tos da matemática financeira e o regime de capitalização 
simples, no qual os juros são calculados sempre sobre o 
valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de 
cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na moda-
lidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o PV, 
enquanto na modalidade de desconto bancário a base de 
cálculo é sempre o valor nominal do título ou FV. O regime 
de capitalização simples representa, portanto, uma equa-
ção aritmética, na qual o capital cresce de forma linear, 
seguindo uma reta. Logo, é indiferente se os juros são pa-
gos periodicamente ou ao final do prazo total. Esse regime 
representa o início do estudo da matemática financeira e 
o regime de capitalização simples, uma vez que todos os 
seus fundamentos partem da capitalização simples.
41
......................................................................................................................................................................................................................
REFERÊNCIAS
BOLSA DE VALORES, MERCADORIAS E FUTUROS DE SÃO 
PAULO. Matemática Financeira: 216 questões com gabari-
to. São Paulo: BM&FBovespa, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: obje-
tiva e aplicada. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira: aplica-
ções à análise de investimentos. 5. ed. São Paulo: Pearson, 
2010.
UNIÃO EUROPEIA. Versões consolidadas do Tratado da 
União Europeia e do Tratado sobre o Funcionamento da 
União Europeia e Carta dos Direitos Fundamentais da 
União Europeia. Luxemburgo: Serviço das Publicações da 
União Europeia, 2010. Disponível em: <http://europa.eu/
pol/pdf/consolidated-treaties_pt.pdf>. Acesso em: 24 jan. 
2016.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. 
ed. São Paulo: Atlas, 2011.
WAKAMATSU, André. Matemática Financeira. São Paulo: 
Pearson, 2012.
......................................................................................................................................................................................................................
42
43Regime de capitalização composta
......................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 2 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA E TAXA DE JUROS
Este capítulo aborda o regime de capitalização composta e 
o da taxa de juros equivalente. Poderemos, então, definir 
os conceitos básicos do regime de capitalização composta 
e aplicá-los na resolução de problemas de matemática fi-
nanceira.
44
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Juros sobre juros
O regime de capitalização composta é o mais comum em 
nosso dia a dia. Ele é largamente aplicado pelas institui-
ções financeiras e no cálculo econômico em geral. Nesse 
regime, os juros calculados em um determinado período 
são incorporados ao principal e passam a fazer parte da 
base para o cálculo dos juros no período seguinte. É o que 
comumente chamamos de “juros sobre juros”.
No regime abordado, o juro produzido em cada período é 
agregado ao saldo do início desse período, constituindo, 
assim, uma nova base para o cálculo do juro no período 
seguinte. A esse processo de agregação de juro aos saldos 
iniciais de cada período dá-se o nome de capitalização de 
juros, ou simplesmente capitalização.
Período de capitalização é o período ao final do qual é 
processada essa agregação ao capital do juro produzido.
Mais à frente, você analisará o problema da capitalização 
dos valores financeiros em regime de juros compostos, 
isto é, o crescimento desses valores ao longo do tempo, e, 
depois, o problema oposto, ou seja, a diminuição desses 
valores futuros quando trazidos para o presente — o des-
conto de valores financeiros futuros.
45Regime de capitalização composta
......................................................................................................................................................................................................................
Montante – M ou Valor Futuro – FV
Vamos iniciar com a fórmula relativa à capitalização de 
valores financeiros no tempo (M ou FV). Para isso, supo-
nha um valor financeiro presente (C = capital ou PV), apli-
cado durante n períodos a uma taxa de juros periódica i. 
Essa aplicação gera um M ao final da aplicação cujo valor 
deseja-se conhecer.
Nesse sentido, o capital inicial (C = PV), ao final de n perí-
odos de aplicação, a uma taxa de juros i ao período, gerará 
um M ou FV de:
M = C . (1 + i)n ou FV = PV . (1 + i)n
Os problemas de capitalização composta podem ser redu-
zidos a quatro situações específicas:
Dados PV, n e i calcular FV.
Dados FV, n e i calcular PV.
Dados PV, FV e n calcular i.
Dados PV, FV e i calcular n.
Exemplo 1: calcule o montante de um capital de R$ 
1.000,00 aplicado por seis meses a uma taxa de juros de 
3% a.m., sabendo que a capitalização é mensal.
Dados: 
PV = 1.000,00
n = 6 meses
i = 3% a.m.
FV = ?
46
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Solução:
FV = PV . (1 + i)n
FV = 1.000 . (1 + 0,03)6
FV = 1.000 . (1,03)6
FV = 1.000 . 1,19405
FV = R$ 1.194,05
Exemplo 2: qual é o valor de um capital que, aplicado por 
seis meses a uma taxa de juros de 3% a.m. e com capitali-
zação mensal, rendeu um montante de R$ 1.000,00?
Dados: 
FV = 1.000,00
n = 6 meses 
i = 3% a.m.
PV = ?
Solução:
FV = PV . (1 + i)n
1.000 = PV . (1 + 0,03)6
PV = R$ 837,48
Exemplo 3: qual é a taxa de rentabilidade mensal para um 
investimento de R$ 300.000,00 produzir o montante de 
R$ 440.798,42 ao fim de cinco meses?
PV = 
1.000
(1,03)6
PV = 
1.000
1,19405
47Regime de capitalização composta
......................................................................................................................................................................................................................
Dados:
PV = R$ 300.000,00
FV = R$ 440.798,42
n = 5 meses
i = ?
Solução:
FV = PV . (1 + i)n
440.798,42 = 300.000 . (1 + i)5
440.798,42 ÷ 300.000 = (1 + i)5
1,469328 = (1 + i)5
1 + i = 5√1,469328
1 + i = 1,08
i = 1,08 – 1
i = 0,08 (8% a.m.)
Exemplo 4: qual é o prazo necessário para uma aplicação 
de R$ 50.000,00, sob uma taxa de 7% ao mês, produzir o 
montante de R$ 65.539,80?
Dados:
PV = R$ 50.000,00
FV = R$ 65.539,80
i = 7% a.m.
n = ?
Solução:
FV = PV . (1 + i)n
65.539,80 = 50.000 . (1 + 0,07)n
65.539,80 ÷ 50.000 = (1,07)n
1,3108 = (1,07)n
48
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalizaçãocomposta e taxa de juros
A partir daqui, é necessário recorrermos ao conceito de 
logaritmos:
log (1,07)n = log 1,3108
n . log 1,07 = log 1,310796
Então:
Logo:
n = 4 meses
Desconto composto
Na capitalização composta, existem dois tipos básicos de 
descontos compostos: o desconto composto racional (por 
dentro) e o desconto composto comercial ou bancário 
(por fora).
• Desconto composto racional (por dentro):
O desconto composto “por dentro” (ou racional) é o 
estabelecido segundo as conhecidas relações do regi-
me de juros compostos. Assim sendo, esse descon-
to é a diferença entre o valor nominal (FV) e o valor 
atual de um título (PV), quitado antes do vencimento. 
Na prática, o desconto “por dentro” ou racional nada 
mais é do que a diferença entre o FV de um título e o 
seu PV, determinado com base no regime de capitali-
zação composta, ou seja, de aplicação generalizada.
n = 
log 1,3108
log 1,07
n = 
0,11754
0,02938
49Regime de capitalização composta
......................................................................................................................................................................................................................
• Cálculo do PV:
 
• Cálculo do desconto composto racional:
Exemplo 5: antecipando em dois meses o pagamento de 
um título, obtive um desconto racional composto, que foi 
calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 31.104,00 
o valor nominal do título, quanto paguei por ele, em R$? 
Qual o valor do desconto?
Dados:
FV = R$ 31.104,00
i = 2% a.m.
n = 2 meses
PV = ?
Solução:
PV = 
FV
(1 + i)n
D
R
 = FV . (1 –
1
)
(1 + i)n
PV = 
FV
(1 + i)n
PV = 
31.104
(1 + 0,02)2
PV = 
31.104
(1,02)2
PV = 
31.104
1,0404
50
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
PV = R$ 29.896,19 (Valor atual do título).
Para achar o valor do desconto:
D = FV – PV
D = 31.104 – 29.896,19
D = R$ 1.207,81 (Valor do (desconto composto ra-
cional).
• Desconto composto comercial (por fora): 
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela 
incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o 
valor nominal do título (FV), o qual é deduzido, em 
cada período, dos descontos obtidos em períodos 
anteriores. O desconto composto “por fora” não 
possui, pelo menos no Brasil, qualquer utilização 
prática conhecida. 
• Cálculo do PV: 
 
 PV = FV . (1– i)n
• Cálculo do desconto composto comercial: 
 DC = FV . (1 – (1 – i)n)
Exemplo 6: antecipando em dois meses o pagamento de 
um título, obtive um desconto comercial composto, que foi 
calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 31.104,00 
o valor nominal do título, quanto paguei por ele, em R$? 
Qual o valor do desconto?
51Regime de capitalização composta
......................................................................................................................................................................................................................
Dados:
FV = R$ 31.104,00
i = 2% a.m.
n = 2 meses
PV = ?
Solução:
PV = FV . (1– i)n
PV = 31.104 . (1 – 0,02)2
PV = 31.104 . (0,98)2
PV = R$ 29.872,28 (Valor atual do título).
Para achar o valor do desconto:
D = FV – PV 
D = 31.104 – 29.872,28
D = R$ 1.231,72 (Valor do desconto composto co-
mercial).
52
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
RESOLVENDO PROBLEMAS DE JUROS 
COMPOSTOS 
O regime de capitalização composta envolve cálculos 
mais complexos do que os correspondentes da capitaliza-
ção simples. Desse modo, é comum que sejam utilizadas 
calculadoras e planilhas eletrônicas para a resolução de 
problemas referentes a juros compostos.
Nesta parte, iremos estudar dois desses auxílios eletrôni-
cos: a calculadora HP 12C (provavelmente, a calculadora 
financeira mais utilizada na atualidade) e planilhas de Ex-
cel (a mais completa do mercado).
Juros compostos na HP 12C
Vamos, agora, refazer os exercícios de 1 a 6, localizados 
nas páginas 45 a 51, utilizando a calculadora HP 12C.
Exemplo 1: calcule o montante de um capital de R$ 
1.000,00 aplicado por seis meses a uma taxa de juros de 
3% a.m., sabendo que a capitalização é mensal.
Dados: 
PV = 1.000,00
n = 6 meses
i = 3% a.m.
FV = ?
53Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
Solução:
Cálculo do montante (FV) a juros compostos
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Prazo
4º Taxa de juros
5º Montante
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
1.000 CHS PV
6 n
3 i FV (Aparecerá no visor: 1.194,05) O valor 
do montante é de R$ 1.194,05.
Exemplo 2: qual é o valor de um capital que, aplicado por 
seis meses a uma taxa de juros de 3% a.m. e com capitali-
zação mensal, rendeu um montante de R$ 1.000,00?
Dados: 
FV = 1.000,00
n = 6 meses 
i = 3% a.m.
PV = ?
PV
FV
n
i
CHS
f REG
54
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Solução:
Cálculo do capital ou principal (PV) a juros compostos
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Montante
3º Prazo
4º Taxa de juros
5º Principal
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
1.000 CHS FV
6 n
3 i PV (Aparecerá no visor: 837,48) O valor do 
capital é de R$ 837,48.
Exemplo 3: qual é a taxa de rentabilidade mensal para um 
investimento de R$ 300.000,00 produzir o montante de 
R$ 440.798,42 ao fim de cinco meses?
Dados:
PV = R$ 300.000,00
FV = R$ 440.798,42
n = 5 meses
i = ?
PV
FV
n
i
CHS
f REG
55Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
Solução:
Cálculo da taxa a juros compostos a par-
tir do principal e do montante
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Prazo
4º Montante
5º Taxa de juros
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
300.000 CHS PV
5 n
440.798,42 FV
i (Aparecerá no visor: 8) A taxa de rentabilidade 
mensal é de 8% a.m.
Exemplo 4: qual é o prazo necessário para uma aplicação 
de R$ 50.000,00, sob uma taxa de 7% ao mês, produzir o 
montante de R$ 65.539,80?
Dados:
PV = R$ 50.000,00
FV = R$ 65.539,80
PV
FV
n
i
CHS
f REG
56
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
i = 7% a.m.
n = ?
Solução:
Cálculo do prazo a juros compostos a partir 
do principal e do montante
Passos HP 12C Resposta
1º
2º Principal
3º Taxa
4º Montante
5º Prazo
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
50.000 CHS PV
7 i
65.539,80 FV
n (Aparecerá no visor: 4) O prazo é de quatro meses.
Observação: na função financeira da HP 12C, ao calcu-
larmos o prazo, o valor sempre será arredondado para o 
imediatamente acima. O valorexato é obtido somente pela 
fórmula do prazo, com o uso de logaritmos (como vimos 
PV
FV
n
i
CHS
f REG
57Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
no exemplo 4 encontrado nas páginas 47 e 48). Mesmo 
que o prazo seja de 3,15, a calculadora HP 12C arredon-
dará para 4.
Exemplo 5: antecipando em dois meses o pagamento de 
um título, obtive um desconto racional composto, que foi 
calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 31.104,00 
o valor nominal do título, quanto paguei por ele, em R$? 
Qual o valor do desconto?
Dados:
FV = R$ 31.104,00
i = 2% a.m.
n = 2 meses
PV = ?
Solução:
Cálculo do valor atual e do desconto 
no desconto racional composto
31.104
2
2
 29.896,19 (Valor atual do título).
31.104 – 1.207,81 
(Desconto racional 
composto = R$ 1.207,81).
f
PV
REG
FVCHS
i
n
58
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Exemplo 6: antecipando em dois meses o pagamento 
de um título, obtive um desconto comercial composto, 
que foi calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 
31.104,00 o valor nominal do título, quanto paguei por 
ele, em R$? Qual o valor do desconto?
Dados:
FV = R$ 31.104,00
i = 2% a.m.
n = 2 meses
PV = ?
Solução:
Observação: para utilizarmos a HP 12C no desconto co-
mercial composto, é necessário observarmos os seguintes 
passos:
• Na tecla “FV”, é digitado o PV, ou seja, o valor 
recebido.
• Na tecla “PV”, digita-se o FV.
• A taxa de juros deverá ser informada com sinal 
negativo.
• O valor do desconto, no final do cálculo, aparece-
rá negativo (-), mas ele deve ser considerado como 
positivo.
59Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
Cálculo do valor atual e do desconto 
no desconto comercial composto
31.104
2
2
 29.872,28 (Valor atual do título).
31.104 – – 1.231,72 
Juros compostos no Excel
Para representar o regime de capitalização composta no 
Excel, podemos utilizar esta fórmula como padrão:
FV = PV * (1 + taxa) NPER
O Excel possui funções específicas para o cálculo de FV, 
PV, taxa e NPER. A vantagem de trabalhar com funções 
predefinidas é que você só precisa informar quais são o 
PV, a taxa e o NPER, e o Excel irá calcular o FV, sem você 
ter de preocupar-se com quais cálculos estão sendo feitos. 
Ao trabalhar com essas funções, é importante que você 
não se esqueça de que elas trabalham como em uma cal-
culadora financeira, com a noção de fluxo de caixa. Por-
tanto, se você informar o valor presente positivo (entrada 
de caixa), o valor futuro calculado será negativo (saída de 
caixa), e vice-versa.
(Desconto racional 
composto = R$ 1.231,72).
f
PV
REG
FV
CHS
CHS i
n
60
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Observação 1: o Excel realiza facilmente cálculos de ex-
ponenciação. Basta usar o acento circunflexo (^) da mes-
ma forma que faz em adições e multiplicações. 
Exemplo:
=2^4 (essa fórmula calcula o valor de 2 elevado à quarta 
potência, o que dá 16).
Observação 2: quando você for informar ao Excel um PV 
e um FV para calcular a taxa, por exemplo, precisará lem-
brar-se de que ou o PV ou o FV deverá ser negativo. Caso 
contrário, obterá um erro como resultado.
Observação 3: com a função =NPER do Excel, é possível 
projetar o tempo necessário para fazer o investimento 
ideal. A função vale-se de pagamentos constantes e perió-
dicos, além de taxa de juros fixas.
Apesar de o Excel possuir várias funções prontas para cal-
cular os juros compostos, consideramos importante que 
saibamos dominar as fórmulas, pois muitas vezes é mais 
fácil construir uma fórmula do que gravar a aplicação de 
cada função. 
61Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
Vamos a um exemplo prático:
Exemplo 7: suponha, por exemplo, que você queira saber 
como evolui um capital de R$ 10.000,00 que foi aplicado a 
uma taxa de 6% a.m. durante 20 meses.
Passo 1: abra o Microsoft Office Excel e crie a planilha com 
o valor do capital na célula B1, a taxa de juros na B2 e os 
meses devidamente distribuídos, conforme a figura abaixo:
62
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Passo 2: logo em seguida, clique na célula B4 e coloque 
a fórmula: =$B$1*(1+($B$2/100))^A4, conforme a figura 
abaixo:
O que a fórmula =$B$1*(1+($B$2/100))^A4 significa?
Na fórmula acima, o capital (B1) é multiplicado pelo valor 
de (1 + taxa (B2) ÷ 100) elevado ao prazo (A4) do primeiro 
mês, conforme código abaixo:
Montante = B1*(1+(B2/100))^A4.
Montante = capital * (1+(taxa/100))^prazo.
Observação: o símbolo $ significa “endereço absoluto”: o 
valor que não se alterará na fórmula, independentemente 
da célula que a contiver. 
63Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
Passo 3: em seguida, vamos calcular os juros acumulados 
em R$ e os juros acumulados em %, assim, ficará fácil de 
observar a evolução do capital mês a mês.
Clique na célula C4 e digite a seguinte fórmula =B4-$B$1, 
conforme a figura abaixo:
O que a fórmula = B4-$B$1 significa?
Na fórmula acima, calculamos o valor dos juros (em R$) 
realizando a subtração do montante (B4) no mês um (pra-
zo um) pelo valor do capital (B1).
64
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Passo 4: agora, clique na célula D4 e digite a seguinte fór-
mula =(C4/$B$1), conforme a figura abaixo:
O que a fórmula = (C4/$B$1) significa?
Na fórmula acima, calculamos o percentual dos juros (em 
%) realizando a divisão do valor dos juros (C4) no mês um 
(prazo um) pelo valor do capital (B1).
Observação: não se esqueça de formatar a célula com a 
porcentagem de desconto para o formato porcentagem (%).
Passo 5: para compor todos os resultados, selecione a li-
nha quatro e posicione o cursor no canto inferior direito 
para que ela se transforme em um sinal de adição (+).
65Resolvendo problemas de juros compostos em calculadoras e planilhas
......................................................................................................................................................................................................................
Passo 6: por fim, arraste a alça de preenchimento para 
baixo (faça isso em todas as células que você desejar pre-
encher,no nosso caso, até o prazo 20, ou seja, célula 23). 
Quando você soltar, a fórmula será preenchida automa-
ticamente nas demais células, conforme a figura abaixo:
66
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
TAXAS DE JUROS: EFETIVA, EQUIVALENTE, 
BRUTA E LÍQUIDA
Você se lembra de que, conforme visto no terceiro tópico 
do capítulo 1, sobre regime de capitalização simples, as 
taxas de juros proporcionais são também equivalentes?
Já no regime de capitalização composta isso não aconte-
ce, pois duas taxas de juros são equivalentes quando, ao 
serem aplicadas ao mesmo capital e pelo mesmo prazo, 
geram montantes iguais.
• Taxa efetiva:
Taxa efetiva é aquela em que a unidade de refe-
rência do seu tempo coincide com as unidades de 
tempo dos períodos de capitalização:
• 2% a.m., capitalizados mensalmente.
• 3% a.t., capitalizados trimestralmente.
• 5% a.s., capitalizados semestralmente.
• 8% a.a., capitalizados anualmente.
• Taxa equivalente:
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas 
em unidades de tempo diferentes que, ao serem 
aplicadas a um principal idêntico e durante um mes-
mo prazo, produzem um montante acumulado igual 
ao do final desse período no regime de juros com-
postos.
67Taxas de juros: efetiva, equivalente, bruta e líquida
......................................................................................................................................................................................................................
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, 
diretamente ligado ao regime de capitalização 
composta.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas 
proporcionais prende-se exclusivamente ao regime 
de juros considerado. Já as taxas proporcionais ba-
seiam-se em juros simples, e as equivalentes, em 
juros compostos.
A fim de relacionar de modo sistemático essas equi-
valências, considere as seguintes nomenclaturas:
• i
a
 = taxa de juros anual.
• i
t
 = taxa de juros trimestral.
• i
s
 = taxa de juros semestral.
• i
m
 = taxa de juros mensal.
• i
d
 = taxa de juros diária.
Assim, chegamos à expressão que permite trans-
formar as taxas de juros efetivas de uma tempora-
lidade para outra, considerando os montantes ge-
rados por um capital unitário em um ano e as taxas 
como efetivas:
(1 + i
a
)1 = (1 + i
s
)2 = (1 + i
t
)4 = (1 + i
m
)12 = (1 + i
d
)360 
68
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Vamos verificar o cálculo da taxa equivalente na prática, 
usando os dados da planilha do Excel da página 65, que 
segue abaixo:
Exemplo 1: calcule a taxa anual equivalente a 6% a.m.
Sabemos que um ano = 12 meses, então:
 (1 + i
a
)1 = (1 + i
m
)12
1 + i
a
 = (1 + 0,06)12
1 + i
a
 = (1,06)12
1 + i
a
 = 2,0122
i
a
 = 2,0122 – 1
i
a
 = 1,0122 A taxa anual equivalente é de 101,22%.
69Taxas de juros: efetiva, equivalente, bruta e líquida
......................................................................................................................................................................................................................
Exemplo 1 na HP 12C:
Cálculo da taxa equivalente de um período 
menor para um período maior
Passos HP 12C
1º
2º 100
3º xxxx
4º xxxx
5º
6º
Observação: observe se a calculadora apresenta a letra “c” 
na parte inferior do lado direito do visor (ela pode ser ha-
bilitada/desabilitada com o procedimento STO EEX).
Dados:
n = um ano = 12 meses
i = 6 % a.m.
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
100 CHS PV
12 n
6 i
FV
f
PV
PV
REG
FV
CHS
RCL
i
n
+
70
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
RCL PV + (Aparecerá no visor: 101,22) A taxa 
anual equivalente é de 101,22%.
Exemplo 2: calcule a taxa semestral equivalente a 6% a.m.
Sabemos que um semestre = seis meses, então:
(1 + i
s
)1 = (1 + i
m
)6
1 + i
s
 = (1 + 0,06)6
1 + i
s
 = (1,06)6
1 + i
s
 = 1,41852
i
s
 = 1,41852 – 1
i
s
 = 0,41852 A taxa semestral equivalente é de 41,85%.
Exemplo 2 na HP 12C:
Cálculo da taxa equivalente de um período 
menor para um período maior 
Passos HP 12C
1º
2º 100
3º xxxx
4º xxxx
5º
6º
f
PV
PV
REG
FV
CHS
RCL
i
n
+
71Taxas de juros: efetiva, equivalente, bruta e líquida
......................................................................................................................................................................................................................
Dados:
n = um semestre = seis meses
i = 6 % a.m.
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores).
100 CHS PV
6 n
6 i
FV
RCL PV + (Aparecerá no visor: 41,85) A taxa se-
mestral equivalente é de 41,85%.
Exemplo 3: calcule a taxa mensal equivalente a 101,22% a.a.
Sabemos que um ano = 12 meses, então:
(1 + i
a
)1 = (1 + i
m
)12
i
m
 = (1 + i
a
)1/12 - 1
i
m
 = (1 + 1,0122)1/12 – 1
i
m
 = (2,0122)1/12 – 1
i
m
 = 1,06 – 1
i
m
 = 0,06 A taxa mensal equivalente é de 6%.
72
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
Exemplo 3 na HP 12C:
Cálculo da taxa equivalente de um período 
maior para um período menor 
Passos HP 12C
1º
2º 100
3º xxxx
4º xxxx
5º
6º
Dados:
n = um ano = 12 meses
i = 101,22% 
Registre nas teclas financeiras:
f REG (Para limpar todos os registros anteriores)
100 CHS PV
12 1/x n
101,22 i
FV
RCL PV + (Aparecerá no visor: 6,00) A taxa men-
sal equivalente é de 6%.
f
PV
PV
REG
FV
CHS
1/x
RCL
i
n
+
73Taxas de juros: efetiva, equivalente, bruta e líquida
......................................................................................................................................................................................................................
• Taxa bruta x taxa líquida:
• Taxa bruta: a taxa bruta de uma aplicação finan-
ceira é a taxa de juros obtida considerando o valor 
da aplicação e o valor do resgate brutos, sem levar 
em conta o desconto do imposto de renda sobre os 
juros que é retido pela instituição financeira.
• Taxa líquida: a taxa líquida de uma aplicação fi-
nanceira é a taxa de juros obtida considerando o va-
lor da aplicação e o valor do resgate líquidos, levan-
do em conta o desconto do imposto de renda sobre 
os juros que é retido pela instituição financeira.
Exemplo 4: supondo que você aplicou em um fundo de in-
vestimento que lhe proporcionou um retorno de 0,90% em 
um mês, qual foi o seu ganho líquido se considerar que foi 
cobrado 20% sobre o ganho a título de imposto de renda?
Dados:
Taxa bruta: 0,90% 
IR: 20% 
Taxa líquida: taxa bruta – IR 
Solução:
Calculando a taxa líquida: 0,90 x 0,80 (fator de descapita-
lização) = 0,72%.
Logo, a taxa líquida do investidor foi de 0,72%
Observação: como a taxa bruta considera o PV e o FV bru-
tos, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, 
que é retido pela instituição financeira, enquanto a Taxa 
74
......................................................................................................................................................................................................................Regime de capitalização composta e taxa de juros
Líquida considera o PV e o FV líquidos, levando em conta 
o desconto do imposto de renda, que é retido pela insti-
tuição financeira, a taxa bruta é sempre maior que a taxa 
líquida.
• Taxa real x taxa aparente:
Quando ocorre um aumento persistente dos preços 
de bens e serviços, a moeda perde o seu poder aqui-
sitivo ao longo do tempo, gerando um fenômeno co-
nhecido como inflação, que ocorre devido a vários 
fatores, como, por exemplo, a escassez de produtos, 
o déficit orçamentário do governo — com emissão 
descontrolada de dinheiro —, o desequilíbrio da ba-
lança de pagamentos, etc.
Em época de inflação elevada, é fundamental a aná-
lise dos efeitos das taxas de inflação nos resulta-
dos das aplicações financeiras, pois a perda rápida 
do poder aquisitivo da moeda pode fazer com que 
essas aplicações produzam resultados meramente 
ilusórios.
• Taxa aparente: é a taxa que vigora nas operações 
financeiras, sem levar em consideração a inflação 
do período. É a que vigora nas operações correntes.
• Taxa real: é a taxa que leva em consideração a 
inflação do período. A taxa real é calculada depois 
de serem expurgados os efeitos inflacionários.
75Taxas de juros: efetiva, equivalente, bruta e líquida
......................................................................................................................................................................................................................
As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:
(1 + i) = (1 + i
r
) . (1 + I)
Em que:
“i” é a taxa aparente. 
“i
r
” é a taxa real.
“I” é a taxa de inflação.
Exemplo 5: qual será a taxa real de um empréstimo a uma 
taxa aparente de 20% a.m., considerando uma inflação de 
15% para o mesmo período?
(1 + i) = (1 + i
r
) . (1 + I)
(1 + 0,2) = (1 + i
r
) . (1 + 0,15)
1,2 = (1 + i
r
) . 1,15
i
r 
= 1,043478 – 1
i
r
 = 0,043478 i
r
 = 4,35% a.m.
Exemplo 6: um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de 
juros compostos de 18% a.a. No mesmo período, a taxa de 
inflação foi de 12,5%. Qual a taxa real de juros?
(1 + i) = (1 + i
r
) . (1 + I)
(1 + 0,18) = (1 + i
r
) . (1 + 0,125)
1,18 = (1 + i
r
) . 1,125
1,2
= 1 + i
r1,15
1,18
= 1 + i
r1,125
76
......................................................................................................................................................................................................................
Regime de capitalização composta e taxa de juros
i
r 
= 1,04889 – 1
i
r
 = 0,04889 i
r
 = 4,89% a.m.
Neste capítulo, falamos sobre o regime de capitalização 
composta, que é diferente do regime de capitalização sim-
ples, na medida em que o capital vai acumulando os juros 
ao longo do tempo. Nesse regime, o valor do capital e, 
consequentemente, o valor dos juros a pagar aumentam 
ao longo do tempo. Como os juros compostos são soma-
dos ao saldo devedor, os juros aumentam cada vez mais. 
São os famosos “juros sobre juros”. O crescimento, nesse 
caso, é exponencial (uma curva cada vez mais íngreme), 
enquanto, nos juros simples, esse crescimento é constante 
(uma reta).
77
......................................................................................................................................................................................................................
REFERÊNCIAS
BOLSA DE VALORES, MERCADORIAS E FUTUROS DE SÃO 
PAULO. Matemática Financeira: 216 questões com gabari-
to. São Paulo: BM&FBovespa, 2008.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: obje-
tiva e aplicada. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira: aplica-
ções à análise de investimentos. 5. ed. São Paulo: Pearson, 
2010.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. 
ed. São Paulo: Atlas, 2011.
WAKAMATSU, André. Matemática Financeira. São Paulo: 
Pearson, 2012.
......................................................................................................................................................................................................................
78
79Séries de pagamentos
......................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 3 
SÉRIE DE PAGAMENTOS E 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
Este capítulo aborda as séries de pagamentos e os siste-
mas de amortização e suas relações matemáticas aplicados 
aos casos práticos do cotidiano dos mercados comercial e 
financeiro. Assim, você poderá identificar a relação entre 
o PV ou o FV, bem como o prazo, a taxa de juros e o valor 
das parcelas de uma série de pagamentos, além de também 
conseguir analisar e determinar as séries de pagamentos e 
planos de amortização por meio de recursos eletrônicos.
80
......................................................................................................................................................................................................................
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
SÉRIES DE PAGAMENTOS 
Uma série de pagamentos, também conhecida como anui-
dade, está relacionada às saídas de recursos financeiros 
do seu caixa, seja para pagamento de seus empréstimos 
ou financiamentos, seja para construir um montante até o 
final de um período (poupança programada).
Com relação ao início dos pagamentos, as rendas podem 
ser classificadas em:
• Rendas imediatas: quando o primeiro pagamen-
to é devido no primeiro período, contado a partir da 
origem da renda.
• Rendas diferidas: quando o primeiro pagamento 
só é devido no período subsequente ao período m, 
denominado período de diferimento. As séries di-
feridas envolvem apenas cálculos relativos ao valor 
atual, pois o montante é igual ao montante de uma 
série de pagamentos iguais com termos vencidos, 
uma vez que, durante o prazo de carência, não há 
pagamentos e capitalizações.
Série de pagamento uniforme 
Define-se anuidade, renda certa ou série uma sucessão de 
pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas prede-
terminadas, destinada a extinguir uma dívida ou consti-
tuir um capital.
81Séries de pagamentos
......................................................................................................................................................................................................................
Vamos analisar o procedimento de duas séries de paga-
mentos uniformes: 
• Série uniforme com pagamentos protelados:-
Nas séries uniformes com termos protelados, os 
pagamentos ou recebimentos são efetuados no final 
de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa de 
juros considerada.
• Série uniforme com pagamentos antecipados: 
Nas séries uniformes com termos antecipados, os 
pagamentos ou recebimentos são efetuados no iní-
cio de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa 
de juros considerada. Assim, a primeira prestação 
é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou 
seja, na data do contrato, do empréstimo, do finan-
ciamento ou de qualquer outra operação que impli-
que pagamentos ou recebimentos de prestações.
Séries uniformes na HP 12C
Vamos desenvolver e apresentar as principais fórmulas 
usadas na solução de problemas envolvendo uma série 
uniforme de valores monetários (pagamentos ou recebi-
mentos), no regime de juros compostos, ao longo de inter-
valos regulares, e mostrar suas aplicações. 
Essa modalidade de prestação é usualmente conhecida 
como modelo price, no qual todas as prestações têm o mes-
mo valor, o qual representaremos genericamente por PMT. 
O fato de as prestações terem o mesmo valor permite a 
obtenção de fórmulas simplificadas para capitalização, 
82
......................................................................................................................................................................................................................