Determine a derivada parcial da função f(x,y)=3x^2 y+cos(y)-e^x.

Para determinar as derivadas parciais da função \( f(x,y) = 3x^2 y + \cos(y) - e^x \), vamos calcular a derivada em relação a \( x \) e em relação a \( y \) separadamente. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(y)) - \frac{\partial}{\partial x}(e^x) \] A derivada de \( 3x^2 y \) em relação a \( x \) é \( 6xy \) (considerando \( y \) como constante). A derivada de \( \cos(y) \) em relação a \( x \) é 0, e a derivada de \( e^x \) é \( e^x \). Portanto: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy - e^x \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(y)) - \frac{\partial}{\partial y}(e^x) \] A derivada de \( 3x^2 y \) em relação a \( y \) é \( 3x^2 \), a derivada de \( \cos(y) \) é \( -\sin(y) \), e a derivada de \( e^x \) em relação a \( y \) é 0. Portanto: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - \sin(y) \] Resumindo: - A derivada parcial em relação a \( x \) é \( 6xy - e^x \). - A derivada parcial em relação a \( y \) é \( 3x^2 - \sin(y) \).