Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Question

Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente po...

Ed · Answer

Vamos resolver a questão passo a passo.

1. **Definindo os termos**:
   - Para a progressão aritmética (PA):
     - Primeiro termo (a1) = 4
     - Segundo termo (a2) = 4 + d (onde d é a razão da PA)
     - Terceiro termo (a3) = 4 + 2d

- Para a progressão geométrica (PG):
     - Primeiro termo (g1) = 4
     - Segundo termo (g2) = 4 * r (onde r é a razão da PG)
     - Terceiro termo (g3) = 4 * r²

2. **Condições dadas**:
   - O terceiro termo das duas progressões é igual: 
     $$
     4 + 2d = 4r^2
     $$
   - O segundo termo da PA excede o segundo termo da PG em 2:
     $$
     (4 + d) - (4r) = 2 \implies d - 4r = -2 \implies d = 4r - 2
     $$

3. **Substituindo d na equação do terceiro termo**:
   Substituindo $d$ na equação do terceiro termo:
   $$
   4 + 2(4r - 2) = 4r^2
   $$
   $$
   4 + 8r - 4 = 4r^2
   $$
   $$
   8r = 4r^2
   $$
   $$
   4r^2 - 8r = 0
   $$
   $$
   4r(r - 2) = 0
   $$
   Portanto, $r = 0$ ou $r = 2$. Como os termos devem ser positivos, usamos $r = 2$.

4. **Encontrando d**:
   Substituindo $r = 2$ na equação de $d$:
   $$
   d = 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6
   $$

5. **Calculando o terceiro termo**:
   Agora, podemos calcular o terceiro termo:
   $$
   a3 = 4 + 2d = 4 + 2(6) = 4 + 12 = 16
   $$

Portanto, o terceiro termo das progressões é: **d) 16**.

Matemática

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Se x, y e z são números inteiros e estão, nesta ordem, em progressão aritmética, então o produto 2^x . 2^y . 2^z vale:

a) 4^y
b) 6^y
c) 6^z
d) 8^y
e) 8^x

UERJ Observe a tabela de Pitágoras.

Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésima
linha.

A sequência a_1, a_2, … a_n é definida por: a_1 = 1, a_2 = 0, a_k = a_{k – 1} + a_{k – 2}, k ≥ 3. Qual o valor de a_7?

a) 1
b) 2
c) 4
d) 3
e) 1

Seja a sequência (7, 14, 21, …, a_n, …), com n natural, n ≥ 1. A expressão log_a(10)7m · log_a(12)a_{10} · log_a(13)a_{12} · log(7)a_{13} com m inteiro, é igual a:

a) log 7
b) log_m 7
c) a_{11}
d) 7m
e) m

O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, –5n, 1 – 4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [-2, -1]
b) [-1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

A soma dos 9 primeiros termos da sequência (1, 2x, 4x, 8x, …), na qual x é um número real maior que 1, é:

a) 512x – 1
b) 256x – 1
c) 512x – 1
d) 256x – 1
e) 511

Se a + b, a^2 – b^2, b^2 – a^2 são termos de uma progressão aritmética, nessa ordem, e a + b ≠ 0, então:

a) 3a – 3b = 1
b) a – b = 0
c) 2a – b = 1
d) a – 3b = 0
e) 3a – b = 1

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UERJ Observe a tabela de Pitágoras.Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésimalinha.

A sequência a_1, a_2, … a_n é definida por: a_1 = 1, a_2 = 0, a_k = a_{k – 1} + a_{k – 2}, k ≥ 3. Qual o valor de a_7?a) 1b) 2c) 4d) 3e) 1

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O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, –5n, 1 – 4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo:a) [-2, -1]b) [-1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]

A soma dos 9 primeiros termos da sequência (1, 2x, 4x, 8x, …), na qual x é um número real maior que 1, é:a) 512x – 1b) 256x – 1c) 512x – 1d) 256x – 1e) 511

Se a + b, a^2 – b^2, b^2 – a^2 são termos de uma progressão aritmética, nessa ordem, e a + b ≠ 0, então:a) 3a – 3b = 1b) a – b = 0c) 2a – b = 1d) a – 3b = 0e) 3a – b = 1

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a) 1
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d) 3
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a) log 7
b) log_m 7
c) a_{11}
d) 7m
e) m

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a) [-2, -1]
b) [-1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

A soma dos 9 primeiros termos da sequência (1, 2x, 4x, 8x, …), na qual x é um número real maior que 1, é:

a) 512x – 1
b) 256x – 1
c) 512x – 1
d) 256x – 1
e) 511

Se a + b, a^2 – b^2, b^2 – a^2 são termos de uma progressão aritmética, nessa ordem, e a + b ≠ 0, então:

a) 3a – 3b = 1
b) a – b = 0
c) 2a – b = 1
d) a – 3b = 0
e) 3a – b = 1