Determine a solução geral da equação diferencial u"- Au' + 52 = 0.

Para resolver a equação diferencial \( u'' - Au' + 52 = 0 \), onde \( A \) é uma constante, seguimos os seguintes passos: 1. Identificar o tipo da equação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. 2. Encontrar a equação característica: A equação característica associada é dada por: \[ r^2 - Ar + 52 = 0 \] 3. Resolver a equação característica: Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes: \[ r = \frac{A \pm \sqrt{A^2 - 4 \cdot 52}}{2} \] 4. Analisar as raízes: - Se \( A^2 - 208 > 0 \): duas raízes reais e distintas. - Se \( A^2 - 208 = 0 \): uma raiz real dupla. - Se \( A^2 - 208 < 0 \): duas raízes complexas conjugadas. 5. Escrever a solução geral: - Para duas raízes reais distintas \( r_1 \) e \( r_2 \): \[ u(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \] - Para uma raiz real dupla \( r \): \[ u(t) = (C_1 + C_2 t)e^{rt} \] - Para raízes complexas \( \alpha \pm \beta i \): \[ u(t) = e^{\alpha t}(C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) \] Onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.