Para resolver a equação diferencial dada \( y'' + 4y = 10e^{2x} \), precisamos encontrar a solução geral, que consiste na soma da solução da equação homogênea e da solução particular. 1. **Solução da equação homogênea**: A equação homogênea associada é \( y'' + 4y = 0 \). A solução característica é \( r^2 + 4 = 0 \), resultando em \( r = \pm 2i \). Portanto, a solução homogênea é: \[ y_h = A \cos(2x) + B \sen(2x) \] 2. **Solução particular**: Para a parte não homogênea \( 10e^{2x} \), podemos tentar uma solução particular da forma \( y_p = Ce^{2x} \). Substituindo na equação, encontramos o valor de \( C \). 3. **Solução geral**: A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: \[ y = y_h + y_p = A \cos(2x) + B \sen(2x) + Ce^{2x} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y = a \cos(2x) + b \sen(2x) + 2e \) B) \( y = ae^{\pm \cos(2x)} + b \sen(2x) + 2e \) C) \( y = ae + bxe^{2} + 2\cos(2x) \) D) \( y = a \cos(2x) + bx \sen(2x) + 2x \) E) \( y = a \cos(2x) + b \sen(2x) + x^2 \) A alternativa que melhor representa a solução geral da equação diferencial é a **A)** \( y = a \cos(2x) + b \sen(2x) + 2e \), pois inclui a parte homogênea e uma constante que pode ser ajustada para a parte particular.