Para determinar para quais valores de \( m \) o polinômio \( P(x) = mx^2 + 2(-m - 2)x + m^2 + 4 \) é negativo quando \( x = 1 \), precisamos primeiro substituir \( x = 1 \) na expressão do polinômio. Substituindo \( x = 1 \): \[ P(1) = m(1)^2 + 2(-m - 2)(1) + m^2 + 4 \] Simplificando: \[ P(1) = m + 2(-m - 2) + m^2 + 4 \] \[ = m - 2m - 4 + m^2 + 4 \] \[ = m^2 - m \] Queremos que \( P(1) < 0 \): \[ m^2 - m < 0 \] Fatorando a expressão: \[ m(m - 1) < 0 \] Agora, analisamos os sinais do produto \( m(m - 1) \). O produto é negativo quando um dos fatores é positivo e o outro é negativo. Isso ocorre nos intervalos: 1. \( m < 0 \) e \( m - 1 > 0 \) (não há valores que satisfaçam isso) 2. \( 0 < m < 1 \) Portanto, a condição que satisfaz \( P(1) < 0 \) é \( 0 < m < 1 \). Analisando as alternativas: a) \( 1 < m < 2 \) - Não é correto. b) \( -1 < m < 2 \) - Inclui valores que não satisfazem a condição. c) \( -5 < m < -4 \) - Não é correto. d) \( -3 < m < 2 \) - Inclui valores que não satisfazem a condição. e) \( 0 < m < 1 \) - Esta é a correta. Portanto, a alternativa correta é: e) 0 < m < 1.