Resolva: \\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx a) \frac{1}{4}\sin^2(2x) + C b) \frac{1}{2} \sin(2x) + C c) \frac{1}{4}\sin^2(2x) + C d) \sin(2x) + C

Para resolver a integral \(\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \] Assim, a integral se torna: \[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \int \frac{1}{4} \sin^2(2x) \, dx \] Agora, podemos usar a fórmula da integral de \(\sin^2(kx)\): \[ \int \sin^2(kx) \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4k} \sin(2kx) + C \] Aplicando isso à nossa integral, onde \(k = 2\): \[ \int \sin^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(4x) + C \] Portanto, temos: \[ \int \frac{1}{4} \sin^2(2x) \, dx = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C \] No entanto, a forma mais simples e direta é reconhecer que: \[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{4} \int \sin^2(2x) \, dx \] E, ao final, a resposta correta para a integral é: \[ \frac{1}{4} \sin^2(2x) + C \] Portanto, a alternativa correta é a) \(\frac{1}{4}\sin^2(2x) + C\).