Calcule a derivada de \( y = x^2 \ln(x) \). a) \( 2x \ln(x) + x \) b) \( 2x \ln(x^2) \) c) \( x^2 \cdot \frac{1}{x} \) d) \( 2x + \ln(x) \)

Para calcular a derivada da função \( y = x^2 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u \) e \( v \) é dada por \( u'v + uv' \). Aqui, temos: - \( u = x^2 \) e \( v = \ln(x) \) Calculando as derivadas: - \( u' = 2x \) - \( v' = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ y' = u'v + uv' = (2x)(\ln(x)) + (x^2)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando: \[ y' = 2x \ln(x) + x \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 2x \ln(x) + x \) - Esta é a resposta correta. b) \( 2x \ln(x^2) \) - Incorreta, pois não corresponde à derivada calculada. c) \( x^2 \cdot \frac{1}{x} \) - Isso simplifica para \( x \), mas não é a derivada completa. d) \( 2x + \ln(x) \) - Incorreta, não corresponde à derivada. Portanto, a alternativa correta é: a) \( 2x \ln(x) + x \).