Qual a equação da reta tangente à curva y = x^3 em x = 2? a) y = 12x - 20 b) y = 12x - 8 c) y = 6x - 12 d) y = 4x + 8

Para encontrar a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 \) em \( x = 2 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função: A derivada de \( y = x^3 \) é \( y' = 3x^2 \). 2. Calcular a derivada em \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2^2) = 3 \cdot 4 = 12 \] Isso significa que a inclinação da reta tangente em \( x = 2 \) é 12. 3. Encontrar o valor da função em \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 = 8 \] Portanto, o ponto de tangência é \( (2, 8) \). 4. Usar a fórmula da equação da reta: A equação da reta na forma ponto-inclinação é dada por: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] onde \( m \) é a inclinação e \( (x_1, y_1) \) é o ponto de tangência. Substituindo os valores: \[ y - 8 = 12(x - 2) \] Simplificando: \[ y - 8 = 12x - 24 \] \[ y = 12x - 16 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( y = 12x - 20 \) b) \( y = 12x - 8 \) c) \( y = 6x - 12 \) d) \( y = 4x + 8 \) Nenhuma das alternativas corresponde à equação que encontramos, que é \( y = 12x - 16 \). Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar as alternativas novamente.