Para calcular a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = \sin(x) \). 1. A derivada de \( \sin(x) \) é \( \cos(x) \). 2. Portanto, aplicando a regra da cadeia, temos: \[ f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \cot(x) \) - Esta é a mesma que \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \), mas não é a forma mais direta. b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) - Esta é a forma correta da derivada. c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) - Esta não é a derivada correta. d) \( \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \) - Esta também não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \).