Para resolver a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \), podemos usar a identidade que relaciona a tangente com a função logarítmica. A integral de \( \tan(x) \) é dada por: \[ \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \] Agora, vamos calcular a integral definida: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \left[-\ln|\cos(x)|\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) \] 2. Para \( x = 0 \): \[ -\ln|\cos(0)| = -\ln(1) = 0 \] Portanto, a integral resulta em: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \frac{1}{2} \ln(2) - 0 = \frac{1}{2} \ln(2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{1}{2} \ln(1 + \tan^2(\frac{\pi}{4})) \) - Como \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \), isso se torna \( \frac{1}{2} \ln(2) \), que é correto. b) \( \frac{1}{2} \ln(1 + 1) \) - Isso também é \( \frac{1}{2} \ln(2) \), que é correto. c) \( \ln(2) \) - Isso não é correto, pois a resposta é \( \frac{1}{2} \ln(2) \). d) \( \frac{\pi}{4} \) - Isso também não é correto. Portanto, as alternativas a) e b) estão corretas, mas a resposta mais direta e comum para a integral é: Resposta correta: a) \( \frac{1}{2} \ln(1 + \tan^2(\frac{\pi}{4})) \).