Para mostrar que \( M_{n \times m}(\mathbb{R}) = W_1 \oplus W_2 \), precisamos verificar duas condições: 1. Soma direta: \( W_1 \cap W_2 = \{0\} \) 2. Geração: Todo elemento de \( M_{n \times m}(\mathbb{R}) \) pode ser escrito como a soma de um elemento de \( W_1 \) e um elemento de \( W_2 \). ### Passo 1: Verificar a interseção Um elemento \( A \) pertence a \( W_1 \) se \( a_{i,j} = 0 \) para todo \( i > j \) (ou seja, \( A \) é uma matriz triangular inferior). Um elemento \( A \) pertence a \( W_2 \) se \( a_{i,j} = 0 \) para todo \( i \leq j \) (ou seja, \( A \) é uma matriz triangular superior). A única matriz que é tanto triangular inferior quanto triangular superior é a matriz nula. Portanto, temos: \[ W_1 \cap W_2 = \{0\} \] ### Passo 2: Verificar a geração Qualquer matriz \( A = (a_{i,j}) \in M_{n \times m}(\mathbb{R}) \) pode ser decomposta da seguinte forma: \[ A = L + U \] onde \( L \) é a matriz triangular inferior e \( U \) é a matriz triangular superior, definidas como: - \( L = (a_{i,j}) \) com \( a_{i,j} = 0 \) para \( i > j \) (ou seja, \( L \in W_1 \)) - \( U = (a_{i,j}) \) com \( a_{i,j} = 0 \) para \( i < j \) (ou seja, \( U \in W_2 \)) Assim, podemos escrever: \[ A = L + U \] onde \( L \in W_1 \) e \( U \in W_2 \). ### Conclusão Como \( W_1 \cap W_2 = \{0\} \) e todo elemento de \( M_{n \times m}(\mathbb{R}) \) pode ser escrito como a soma de um elemento de \( W_1 \) e um elemento de \( W_2 \), concluímos que: \[ M_{n \times m}(\mathbb{R}) = W_1 \oplus W_2 \] Isso completa a demonstração.