Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \), vamos aplicar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural. 1. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x + \sqrt{x^2 + 1} \). 2. Precisamos calcular \( u' \): - A derivada de \( x \) é \( 1 \). - Para \( \sqrt{x^2 + 1} \), usamos a regra da cadeia: - A derivada de \( \sqrt{v} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot v' \), onde \( v = x^2 + 1 \) e \( v' = 2x \). - Portanto, \( \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 3. Assim, \( u' = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 4. Agora, substituímos na fórmula da derivada: \[ f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) \] 5. Simplificando, temos: \[ f'(x) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \] 6. Agora, vamos analisar as alternativas: - A) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) - Não é a resposta correta. - B) \( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \) - Não é a resposta correta. - C) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) - Não é a resposta correta. - D) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) - Não é a resposta correta. A alternativa correta é a B) \( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \), pois é a que mais se aproxima do resultado da derivada simplificada.