O que é \( \tan(105^\circ) \? A) \( \sqrt{3} \) B) \( -\sqrt{3} \) C) 1 D) \( -1 \)

Para encontrar \( \tan(105^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos. Sabemos que \( 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ \). A fórmula é: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Substituindo \( a = 60^\circ \) e \( b = 45^\circ \): \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \quad \text{e} \quad \tan(45^\circ) = 1 \] Agora, aplicando na fórmula: \[ \tan(105^\circ) = \frac{\tan(60^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(60^\circ) \tan(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \] Multiplicando o numerador e o denominador por \( 1 + \sqrt{3} \) para racionalizar: \[ \tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} \] No entanto, para simplificar, podemos usar a relação de ângulos: \[ \tan(105^\circ) = -\tan(75^\circ) \] E sabemos que \( \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3} \), então: \[ \tan(105^\circ) = -(2 + \sqrt{3}) \] Nenhuma das alternativas corresponde exatamente a esse valor, mas a tangente de \( 105^\circ \) é negativa. Portanto, a resposta correta entre as opções dadas é: B) \( -\sqrt{3} \) (embora não seja exata, é a única que representa um valor negativo).