Qual é o valor de \( ext{sin}(2x) \) se \( ext{sin}(x) = \frac{1}{2} \)? a) \( \frac{1}{2} \) b) 1 c) 0 d) \( \sqrt{2} \)

Para encontrar o valor de \( \sin(2x) \) dado que \( \sin(x) = \frac{1}{2} \), podemos usar a fórmula do ângulo duplo: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Sabemos que \( \sin(x) = \frac{1}{2} \). Agora, precisamos encontrar \( \cos(x) \). Para isso, podemos usar a identidade pitagórica: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Substituindo \( \sin(x) \): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] \[ \frac{1}{4} + \cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Portanto, \( \cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \). Agora, substituímos na fórmula de \( \sin(2x) \): \[ \sin(2x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(x) = \cos(x) \] Assim, \( \sin(2x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \( \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \). Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você precisa criar uma nova pergunta.