Calcule \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx. A) \frac{1}{2} B) \frac{5}{4} C) \frac{3}{4} D) 1

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^3 + 3x^2 + 1\). 1. A antiderivada de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A antiderivada de \(3x^2\) é \(\frac{3}{3}x^3 = x^3\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): \[ F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 + (1) = \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 + (0) = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{2} - 0 = \frac{5}{2} \] No entanto, parece que houve um erro na análise das opções, pois \(\frac{5}{2}\) não está entre as alternativas. Vamos revisar a integral: Calculando novamente: \[ \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{2} + 1 + 1 \right) - 0 = \frac{5}{2} \] Parece que não há uma alternativa correta entre as opções dadas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.