ATIVIDADE 4 (A4) _Calculo Aplicado de varias variáveis

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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4)
GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-9317.03 Unidade 4
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) 
Usuário NILSON FRANCISCO DOS SANTOS
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-9317.03
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 12/11/20 19:14
Enviado 12/11/20 21:10
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 1 hora, 56 minutos
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Pergunta 1
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resposta:
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções
particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a
solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto.
Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial
(PVI) . 
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.br/pr
ojetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos
resolvê-la separando as variáveis e , integrando ambos os lados da igualdade em
seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se então . Trocando esses valores na
solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é 
.
Pergunta 2
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados
matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
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NILSON FRANCISCO DOS SANTOS
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 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte
situação: 
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de
bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa
população. 
 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte
equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias que depende do
tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos .
Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde e são constantes e . Como temos
. Portanto, a função que descreve o
crescimento dessa população de bactérias é .
Pergunta 3
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As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos
classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela
ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a
classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. 
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: 
 
 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação
por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da
equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada
pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, pois .
Pergunta 4
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem,
consiste em determinar uma solução que satisfaça às condições iniciais da forma e
 . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na
solução geral. 
 
Considere o seguinte PVI: , e . Analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
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II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois: 
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são
 (duas raízes reais e distintas). 
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber
, a solução geral é expressa por . A partir das condições
iniciais, obtemos o seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos e . Portanto, a solução do PVI é
.
Pergunta 5
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Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um
comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o
comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado
obedece à equação diferencial: , onde é uma função do tempo que indica a posição
da massa e é a constante elástica. 
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
 
 
A posição da massa em qualquer momento é expressa por
A posição da massa em qualquer momento é expressa por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:
 (a mola no tempo está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento natural
de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e (a velocidade inicial da mola é
nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de
Hooke, temos que o valor da constante elástica é: .
Tomando e na EDO , obtemos a EDO .
Resolvendo o PVI: , e temos que a solução geral da
EDO é , portanto, a solução do PVI é .
Portanto,
Pergunta 6
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Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro
grau que pode ser escrita na forma . O nome separável vem do fato de que a
equação pode ser separada em uma função de e uma função de . A solução de tal equação é obtida
ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação
diferencial separável . 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação
separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação como
. Integrandoambos os lados da igualdade, temos
, onde .
Pergunta 7
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A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em
resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno,
o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90
°C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo
esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode ser
descrita pela equação diferencial onde e são fornecidas as
seguintes informações: e . Nosso problema consiste em
determinar o tempo , em minutos, tal que . Resolvendo a equação
diferencial, temos
, onde . Das condições e
 vamos determinar as constantes e . De temos . De
, temos . Portanto, a função temperatura do bolo é
. Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é
30ºC. De , temos .
Pergunta 8
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito
pela equação , onde é uma função do tempo que indica a posição da massa, é a
massa da mola e é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de
massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola
for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa
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após segundos? 
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:
 (a mola no tempo está esticada em 1,1 m sendo seu comprimento
natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m) e (a velocidade inicial da
mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela
lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando e na EDO
, obtemos a EDO . Resolvendo o PVI: ,
 e , temos que a solução geral da EDO é
 e, portanto, a solução do PVI é
Pergunta 9
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resposta:
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma ,
onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita
linear homogênea, caso contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo . 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
 
 
A equação diferencial tem solução .
A equação diferencial tem solução .
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial ,
escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo
grau, obtemos os seguintes valores para . Como as raízes são distintas,
podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada como .
Pergunta 10
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de
uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo,
equações diferenciais escritas na forma são ditas equações diferenciais
separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade. 
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação é . 
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Quinta-feira, 12 de Novembro de 2020 21h20min44s BRT
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II. A solução da equação é . 
III. A solução da equação é . 
IV. A solução da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
I e III, apenas.
I e III, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução
nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis:
. Integrando a equação:
, onde . 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando
a equação: , onde .
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