Para determinar o número médio de peças produzidas no intervalo de \( x = 1 \) até \( x = 5 \) pela função \( y = -x^3 + 15x^2 \), precisamos calcular a média da função nesse intervalo. O valor médio de uma função \( f(x) \) no intervalo \([a, b]\) é dado pela fórmula: \[ \text{Valor médio} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] Neste caso, \( a = 1 \) e \( b = 5 \). Portanto, precisamos calcular: \[ \text{Valor médio} = \frac{1}{5-1} \int_1^5 (-x^3 + 15x^2) \, dx \] Calculando a integral: 1. Encontrar a primitiva: \[ \int (-x^3 + 15x^2) \, dx = -\frac{x^4}{4} + 5x^3 + C \] 2. Avaliar a integral de 1 a 5: \[ \left[-\frac{x^4}{4} + 5x^3\right]_1^5 = \left(-\frac{5^4}{4} + 5 \cdot 5^3\right) - \left(-\frac{1^4}{4} + 5 \cdot 1^3\right) \] Calculando os limites: - Para \( x = 5 \): \[ -\frac{625}{4} + 5 \cdot 125 = -\frac{625}{4} + 625 = \frac{625}{4} \] - Para \( x = 1 \): \[ -\frac{1}{4} + 5 = -\frac{1}{4} + \frac{20}{4} = \frac{19}{4} \] 3. Substituindo na fórmula: \[ \frac{625/4 - 19/4}{4} = \frac{606/4}{4} = \frac{606}{16} = 37.875 \] Portanto, o número médio de peças produzidas no intervalo de \( x = 1 \) até \( x = 5 \) é 37,875.