Calcule a integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^4(x) \, dx\). a) \(\frac{3\pi}{16}\) b) \(\frac{\pi}{8}\) c) \(\frac{\pi}{4}\) d) \(\frac{5\pi}{16}\)

Para calcular a integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^4(x) \, dx\), podemos usar a identidade de potência para simplificar a função. A identidade que podemos usar é: \[ \cos^4(x) = \left(\cos^2(x)\right)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 \] Expandindo isso, temos: \[ \cos^4(x) = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \] Agora, usando a identidade \(\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}\), podemos reescrever a integral: \[ \int_0^{\pi/2} \cos^4(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \left(\frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2})\right) dx \] Simplificando, temos: \[ = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx \] \[ = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} \left(\frac{3}{2} + 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx \] Agora, calculamos cada parte da integral: 1. \(\int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}\) 2. \(\int_0^{\pi/2} \cos(2x) \, dx = 0\) (a integral de um cosseno completo em um intervalo de \([0, \pi/2]\) é zero) 3. \(\int_0^{\pi/2} \cos(4x) \, dx = 0\) (pelo mesmo motivo) Portanto, a integral se reduz a: \[ = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{16} \] Assim, a resposta correta é: a) \(\frac{3\pi}{16}\)