Para resolver essa questão, vamos usar a propriedade de segmentos proporcionais em triângulos semelhantes, já que DE é paralelo a AB. Sabemos que, pela semelhança dos triângulos, temos a seguinte relação: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{BE}{CE} \] Substituindo os valores que temos: \[ \frac{12}{2x + 2} = \frac{2x + 12}{8} \] Agora, vamos fazer a multiplicação cruzada: \[ 12 \cdot 8 = (2x + 2)(2x + 12) \] Isso resulta em: \[ 96 = 4x^2 + 24x + 4x + 24 \] Simplificando: \[ 96 = 4x^2 + 28x + 24 \] Subtraindo 96 de ambos os lados: \[ 0 = 4x^2 + 28x - 72 \] Dividindo toda a equação por 4: \[ 0 = x^2 + 7x - 18 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Onde \(a = 1\), \(b = 7\) e \(c = -18\): \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} \] \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ x = \frac{-7 \pm 11}{2} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \(x = \frac{4}{2} = 2\) 2. \(x = \frac{-18}{2} = -9\) (não é válida, pois não podemos ter um comprimento negativo) Agora, substituímos \(x = 2\) nas expressões para encontrar os comprimentos: - \(DC = 2x + 2 = 2(2) + 2 = 6\) - \(BE = 2x + 12 = 2(2) + 12 = 16\) Agora, podemos calcular \(AC\) e \(BC\): \[ AC = AD + DC = 12 + 6 = 18 \] \[ BC = BE + CE = 16 + 8 = 24 \] Finalmente, somamos \(AC + BC\): \[ AC + BC = 18 + 24 = 42 \] Portanto, a resposta correta é: d) 42.