Qual é o valor da integral \(\int_1^2 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\)? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Para calcular a integral \(\int_1^2 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(4x^3 - 3x^2 + 2\). 1. A antiderivada de \(4x^3\) é \(\frac{4}{4}x^4 = x^4\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-\frac{3}{3}x^3 = -x^3\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^4 - x^3 + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(1)\): - \(F(2) = 2^4 - 2^3 + 2 \cdot 2 = 16 - 8 + 4 = 12\) - \(F(1) = 1^4 - 1^3 + 2 \cdot 1 = 1 - 1 + 2 = 2\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = F(2) - F(1) = 12 - 2 = 10 \] Parece que houve um erro nas opções, pois o resultado não está entre as alternativas apresentadas. No entanto, se você precisar de um valor específico, a resposta correta para a integral é 10. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!