Dado x ∈ R, com x > 0, tal que x + 1/x = 10, qual o valor de x² + 1/2x? A 98 B 99 C 100 D 101 E 102

Para resolver a equação \( x + \frac{1}{x} = 10 \), vamos primeiro manipular essa expressão. 1. Multiplicamos ambos os lados por \( x \) (considerando que \( x > 0 \)): \[ x^2 + 1 = 10x \] Rearranjando, temos: \[ x^2 - 10x + 1 = 0 \] 2. Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar \( x \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6} \] Como \( x > 0 \), escolhemos \( x = 5 + 2\sqrt{6} \). 3. Agora, precisamos calcular \( x^2 + \frac{1}{2x} \): - Primeiro, calculamos \( x^2 \): \[ x^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 20\sqrt{6} + 24 = 49 + 20\sqrt{6} \] - Em seguida, calculamos \( \frac{1}{2x} \): \[ 2x = 2(5 + 2\sqrt{6}) = 10 + 4\sqrt{6} \] \[ \frac{1}{2x} = \frac{1}{10 + 4\sqrt{6}} \] Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado: \[ \frac{1(10 - 4\sqrt{6})}{(10 + 4\sqrt{6})(10 - 4\sqrt{6})} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{100 - 96} = 10 - 4\sqrt{6} \] 4. Agora, somamos \( x^2 + \frac{1}{2x} \): \[ x^2 + \frac{1}{2x} = (49 + 20\sqrt{6}) + (10 - 4\sqrt{6}) = 59 + 16\sqrt{6} \] 5. Para encontrar o valor aproximado, sabemos que \( \sqrt{6} \approx 2.45 \): \[ 16\sqrt{6} \approx 16 \cdot 2.45 \approx 39.2 \] Portanto: \[ 59 + 39.2 \approx 98.2 \] Assim, o valor mais próximo e correto é A 98.