Para encontrar a função inversa de uma função, precisamos trocar as variáveis \(x\) e \(y\) e resolver para \(y\). Vamos analisar cada uma das funções apresentadas e encontrar a inversa. (a) \(f(x) = \sqrt{10 - 3x}\) 1. Trocar \(f(x)\) por \(y\): \(y = \sqrt{10 - 3x}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \sqrt{10 - 3y}\) 3. Elevar ao quadrado: \(x^2 = 10 - 3y\) 4. Isolar \(y\): \(3y = 10 - x^2\) → \(y = \frac{10 - x^2}{3}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{10 - x^2}{3}\). (b) \(f(x) = \frac{4x - 1}{2x + 3}\) 1. Trocar \(f(x)\) por \(y\): \(y = \frac{4x - 1}{2x + 3}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \frac{4y - 1}{2y + 3}\) 3. Multiplicar ambos os lados por \(2y + 3\): \(x(2y + 3) = 4y - 1\) 4. Expandir e isolar \(y\): \(2xy + 3x = 4y - 1\) → \(2xy - 4y = -3x - 1\) → \(y(2x - 4) = -3x - 1\) → \(y = \frac{-3x - 1}{2x - 4}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{-3x - 1}{2x - 4}\). (c) \(y = 2x^3 + 3\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = 2x^3 + 3\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = 2y^3 + 3\) 3. Isolar \(y\): \(2y^3 = x - 3\) → \(y^3 = \frac{x - 3}{2}\) → \(y = \sqrt[3]{\frac{x - 3}{2}}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x - 3}{2}}\). (d) \(y = \frac{1}{x^3}\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \frac{1}{y^3}\) 3. Isolar \(y\): \(y^3 = \frac{1}{x}\) → \(y = \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\). (e) \(y = 3x - 6\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = 3x - 6\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = 3y - 6\) 3. Isolar \(y\): \(3y = x + 6\) → \(y = \frac{x + 6}{3}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}\). (f) \(y = 0.5x + 1\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = 0.5x + 1\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = 0.5y + 1\) 3. Isolar \(y\): \(0.5y = x - 1\) → \(y = 2(x - 1)\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = 2(x - 1)\). (g) \(y = x^2 + 4\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = x^2 + 4\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = y^2 + 4\) 3. Isolar \(y\): \(y^2 = x - 4\) → \(y = \sqrt{x - 4}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \sqrt{x - 4}\). (h) \(y = \frac{x - 2}{x + 3}\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = \frac{x - 2}{x + 3}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \frac{y - 2}{y + 3}\) 3. Isolar \(y\): \(x(y + 3) = y - 2\) → \(xy + 3x = y - 2\) → \(y - xy = 3x + 2\) → \(y(1 - x) = 3x + 2\) → \(y = \frac{3x + 2}{1 - x}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{3x + 2}{1 - x}\). (i) \(y = \frac{3x - 1}{x + 2}\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \frac{3y - 1}{y + 2}\) 3. Isolar \(y\): \(x(y + 2) = 3y - 1\) → \(xy + 2x = 3y - 1\) → \(3y - xy = 2x + 1\) → \(y(3 - x) = 2x + 1\) → \(y = \frac{2x + 1}{3 - x}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3 - x}\). (j) \(y = \frac{2x + 1}{x - 4}\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \frac{2y + 1}{y - 4}\) 3. Isolar \(y\): \(x(y - 4) = 2y + 1\) → \(xy - 4x = 2y + 1\) → \(xy - 2y = 4x + 1\) → \(y(x - 2) = 4x + 1\) → \(y = \frac{4x + 1}{x - 2}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{4x + 1}{x - 2}\). (k) \(y = \frac{4x + 3}{3x - 1}\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = \frac{4x + 3}{3x - 1}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \frac{4y + 3}{3y - 1}\) 3. Isolar \(y\): \(x(3y - 1) = 4y + 3\) → \(3xy - x = 4y + 3\) → \(3xy - 4y = x + 3\) → \(y(3x - 4) = x + 3\) → \(y = \frac{x + 3}{3x - 4}\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{3x - 4}\). (l) \(y = \sqrt{x + 3}, x \geq -3\) 1. Trocar \(y\) por \(f(x)\): \(f(x) = \sqrt{x + 3}\) 2. Trocar \(x\) e \(y\): \(x = \sqrt{y + 3}\) 3. Elevar ao quadrado: \(x^2 = y + 3\) → \(y = x^2 - 3\) A função inversa é \(f^{-1}(x) = x^2 - 3\). Agora, se você precisar de uma função inversa específica, por favor, especifique qual delas você gostaria de saber!