Para resolver essa questão, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão. Vamos definir: - \( n \): total de estudantes. - \( A \): estudantes que reprovaram em cálculo I. - \( B \): estudantes que reprovaram em equações diferenciais. De acordo com as informações: - \( |A| = \frac{2}{3}n \) (estudantes que reprovaram em cálculo I) - \( |B| = \frac{4}{9}n \) (estudantes que reprovaram em equações diferenciais) - \( |A \cap B| = \frac{1}{6}n \) (estudantes que reprovaram em ambas as disciplinas) - \( |A' \cap B'| = 20 \) (estudantes que não reprovaram em nenhuma das disciplinas) Usando o princípio da inclusão-exclusão, temos: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Substituindo os valores: \[ |A \cup B| = \frac{2}{3}n + \frac{4}{9}n - \frac{1}{6}n \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3, 9 e 6 é 18. Vamos reescrever as frações: - \( \frac{2}{3}n = \frac{12}{18}n \) - \( \frac{4}{9}n = \frac{8}{18}n \) - \( \frac{1}{6}n = \frac{3}{18}n \) Agora, substituindo: \[ |A \cup B| = \frac{12}{18}n + \frac{8}{18}n - \frac{3}{18}n = \frac{17}{18}n \] Os estudantes que não reprovaram em nenhuma disciplina são: \[ n - |A \cup B| = 20 \] Substituindo: \[ n - \frac{17}{18}n = 20 \] \[ \frac{1}{18}n = 20 \] Multiplicando ambos os lados por 18: \[ n = 360 \] Portanto, o total de estudantes que participaram do levantamento é 360. A alternativa correta é: D) 360.