Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas. 1. Temos a sequência \( a_n \) onde \( a_1 = 0 \). 2. A sequência \( b_n \) é definida como \( b_n = a_{n+1} - a_n \) e é uma progressão aritmética (PA) com \( b_1 = 9 \) e razão \( r = 4 \). A partir da definição de PA, podemos expressar os termos de \( b_n \): - \( b_1 = 9 \) - \( b_2 = b_1 + r = 9 + 4 = 13 \) - \( b_3 = b_2 + r = 13 + 4 = 17 \) - E assim por diante. Em geral, o termo \( b_n \) pode ser expresso como: \[ b_n = 9 + 4(n - 1) = 4n + 5 \] Agora, sabemos que: \[ b_n = a_{n+1} - a_n \] Portanto, podemos escrever: \[ a_{n+1} = a_n + b_n \] Vamos calcular os primeiros termos de \( a_n \): - Para \( n = 1 \): \[ a_2 = a_1 + b_1 = 0 + 9 = 9 \] - Para \( n = 2 \): \[ a_3 = a_2 + b_2 = 9 + 13 = 22 \] - Para \( n = 3 \): \[ a_4 = a_3 + b_3 = 22 + 17 = 39 \] Podemos ver que a sequência \( a_n \) está crescendo, e podemos generalizar a soma dos termos de \( b_n \) para encontrar \( a_n \). A soma dos primeiros \( n \) termos de \( b_n \) é: \[ S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n = 9 + (9 + 4) + (9 + 8) + ... + (9 + 4(n-1)) \] Isso pode ser simplificado como: \[ S_n = n \cdot 9 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} \] \[ S_n = 9n + 2(n^2 - n) \] \[ S_n = 2n^2 + 7n \] Assim, temos: \[ a_n = S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 7(n-1) \] \[ a_n = 2(n^2 - 2n + 1) + 7n - 7 \] \[ a_n = 2n^2 - 4n + 2 + 7n - 7 \] \[ a_n = 2n^2 + 3n - 5 \] Agora, para encontrar \( a_{1000} \): \[ a_{1000} = 2(1000^2) + 3(1000) - 5 \] \[ a_{1000} = 2(1000000) + 3000 - 5 \] \[ a_{1000} = 2000000 + 3000 - 5 \] \[ a_{1000} = 2002995 \] Portanto, a resposta correta é: b) 2.002.995.