Para resolver a integral indefinida da função \( f(x) = \ln(x) + x + 5 \), precisamos integrar cada termo separadamente. 1. Integral de \( \ln(x) \): \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \] 2. Integral de \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] 3. Integral de \( 5 \): \[ \int 5 \, dx = 5x + C \] Agora, somando todas as integrais: \[ \int f(x) \, dx = \int \ln(x) \, dx + \int x \, dx + \int 5 \, dx \] \[ = \left( x \ln(x) - x \right) + \frac{x^2}{2} + 5x + C \] \[ = x \ln(x) + \left( \frac{x^2}{2} + 4x \right) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( \int f(x) \, dx = x \ln(x) + \frac{2x^3}{3} + 5x + c \) - Incorreta. b. \( \int f(x) \, dx = x \ln(x) + \frac{x^2}{2} + 5x + c \) - Correta. c. \( \int f(x) \, dx = x \ln(x) + x^2 + 4x + c \) - Incorreta. d. \( \int f(x) \, dx = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}x + c \) - Incorreta. e. \( \int f(x) \, dx = x \ln(x) + \frac{2x^3}{3} + 4x + c \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: b. \( \int f(x) \, dx = x \ln(x) + \frac{x^2}{2} + 5x + c \).