Vamos analisar cada uma das proposições uma a uma: a. ( ) Considere A=| 2 3 |. Não há informação suficiente para julgar essa proposição, pois não está completa. b. ( ) O determinante da matriz quadrada A de ordem 2, cujo elemento genérico é aij = 2i - 3j + 5, é igual a —12. Para calcular o determinante, precisamos dos elementos específicos da matriz. Sem isso, não podemos julgar. c. ( ) Se A é uma matriz de ordem 3x4 e B uma matriz de ordem nxm, então os produtos AB e BA existem se, e somente se, n=4 e m=3. Isso é verdadeiro. Para que o produto AB exista, o número de colunas de A (4) deve ser igual ao número de linhas de B (n). Para que o produto BA exista, o número de colunas de B (m) deve ser igual ao número de linhas de A (3). d. ( ) Se o determinante de uma matriz quadrada A é 10 e se a segunda linha for multiplicada por 4 e a quinta linha por 1, então o determinante da matriz resultante é 20. Isso é falso. Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar. Portanto, o determinante se tornaria 40, não 20. e. ( ) Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para todo 1 < i, j < 3. Então, det(A) # 0. Isso é falso. Essa condição implica que a matriz é antissimétrica, e para matrizes de ordem ímpar, o determinante é sempre zero. f. ( ) Se uma matriz quadrada A de ordem n tem determinante satisfazendo a equação det(A²) + 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1 ou —3. Isso é verdadeiro. A equação pode ser reescrita como (det(A) + 1)² = 5, o que resulta em det(A) = 1 ou det(A) = -3. g. ( ) Se A é a matriz dada por | 1 1 |, então o único valor de k que torna o determinante de A nulo é zero. Isso é falso. O determinante de uma matriz 2x2 é nulo se as linhas (ou colunas) são lineares dependentes. Para a matriz dada, não há informação suficiente para determinar isso. h. ( ) A equação matricial X² - A - X = 3 onde A é a matriz dada por | -4 ? |, tem como solução o conjunto das matrizes | x y | tais que x + y = 1. Não é possível julgar sem mais informações sobre a matriz A. i. ( ) Se A = B C, onde B = | 1 0 | e C = | 3 2 |, então o determinante de A é igual a —4. Isso é verdadeiro. O determinante de A é o produto dos determinantes de B e C, que resulta em 1 * 6 = 6. j. ( ) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, m e n são números naturais tais que det(AB) = 2^n e det(A) = 2^m, então det(B) = 2. Isso é falso. A relação correta é det(AB) = det(A) * det(B), portanto, não podemos afirmar que det(B) = 2. Agora, vamos resumir as classificações: - a: incompleta - b: não julgado - c: V - d: F - e: F - f: V - g: F - h: não julgado - i: V - j: F Dentre as proposições que conseguimos julgar, as verdadeiras são c, f e i. Portanto, a resposta correta é que as alternativas c, f e i são verdadeiras.