Derivadas, Calculo I

Dimensões da caixa: base x, largura x e altura: y

Volume V da caixa: V(x, y) = x²y

Restrições

A caixa possui dimensões: x e y ≠ 0

Mais alta do que larga: y > x

Soma máxima S da altura e perímetro da base quadrada: S(x, y) = y + 4x = 108

Otimização do volume

y(x) = 108 - 4x

Substituindo em V:

V(x) = x²(108 - 4x)

V(x) = 108x² - 4x³

A função V(x), polinomial, é contínua em qualquer intervalo fechado. Logo, o Teorema do Valor Extremo garante solução para o problema de otimização.

Maximizando V(x) em x:

dV(x, y)/dx = 0

216x - 12x² = 0

x(18 - x) = 0

x = 0 ou x = 18

Das restrições, x = 18.

y = 108 - (4 . 18) = 36

As dimensões da caixa de maior volume são 18in, 18in e 36in.

V = 18in . 18 in . 36in = 11664in³

V = 11664in³

primeiramente definiremos quanto equivale o volume da caixa

supondo que y seja a altura da caixa

e x seja o lado de sua base

o volume é a área da base  vezes altura

x*x*y=V

Sabemos que a soma do perimetro mais a altura não pode ser maior que 108 por tanto:

2x+2x+y<=108

colocando y em função de x

y<=108-2x-2x

substituindo em V=x^2*y

V=x^2*108-2x-2x

V=108x^2-4x^3

para sabermos o volume máximo derivamos e igualamos a zero para obter o ponto de máxima da função que descreve o volume

V'=216X-12X^2

216X-12X^2=0

X=0

OU

X=18

EXCLUINDO X=0 pois se trata da dimensão da caixa impossível

substituindo x na equação:

y<=108-2x-2x

obtemos:

y=36

logo:

V=18*18*36=11664