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Teoria, Explicações e Exemplos de Derivadas - Calculo I

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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de NB019 - Cálculo I 
 
1o Período 
 
 
 
Capítulo 3 
 
2o Semestre de 2014 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 3 115 
Capítulo 3 
DERIVADAS 
 
3.1. Acréscimo da variável – x∆ 
 
Dados dois valores 0x e 1x da variável x, com 10 xx < , chamamos de acréscimo da 
variável a diferença 
 
 
01 xxx −=∆ 
 
xxx ∆+= 01 
 
 
3.2. Acréscimo da função – y∆ 
 
Para toda função )(xfy = , quando a variável independente x sofre um acréscimo x∆ , 
consequentemente a variável dependente y sofre um acréscimo y∆ . Este efeito é 
ilustrado no gráfico a seguir. 
 
 
 
De forma geral, o acréscimo da função é dado por )()( xfxxfy −∆+=∆ sempre que x 
sofrer um acréscimo x∆ . 
 
Exemplo 01: Calcule o acréscimo da função xxy 2² += após a variável x sofrer um 
acréscimo x∆ . 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 116 
3.3. Razão incremental – 
x
y
∆
∆
 
 
É a razão entre os acréscimos da variável e da função, respectivamente. Isto é, 
 
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+
=
∆
∆ )()(
 
 
A razão incremental de uma função representa fisicamente a sua taxa de variação média. 
 
Exemplo 02: Calcule a razão incremental das funções a seguir: 
 
a) xxy 2² += 
 
b) xy 3= 
 
3.4. Derivada de uma função 
 
Dada uma função )(xfy = , chamamos de derivada de )(xf em relação à variável x o 
limite da razão incremental quando x∆ tende a zero, ou seja, 
 
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
)()(limlim
00
 
 
é a função derivada de )(xf em relação a x, cuja notações são dadas por 
 
[ ]
[ ]
x
xfxxf
xf
xfD
dx
dy
xy
xf
x
X
∆
−∆+
=










→∆
)()(lim
 )(
)(
)('
)('
0
'
 
 
Vimos que a razão incremental de uma função representa fisicamente sua taxa de 
variação média. Ao dividirmos y∆ por x∆ , mesmo que façamos x∆ tender a zero, 
continuamos tendo como resultado uma taxa de variação da função, porém calculada 
próxima a um ponto. Isto significa que uma derivada de uma função representa 
fisicamente a sua taxa de variação instantânea. 
 
Exemplo 03: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) xxxf 2²)( += 
b) 52)( += xxf 
c) ³)( xxf = 
d) 4²)( += xxf 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 117 
3.5. Derivada de uma função em um ponto ax = 
 
É o valor da derivada da função calculada em ax = , desde que fDa ∈ . 
 
Exemplo 04: Um corpo se desloca no espaço segundo a função ²325)( ttts ++= 
(MRUV), na qual )(ts indica a posição do corpo em metros e t o tempo em segundos. 
Pede-se: 
 
a) Sua velocidade média no intervalo ]5,1[∈t segundos. 
b) Sua velocidade nos instantes 1=t s e 5=t s. 
 
 
3.6. Álgebra das derivadas 
 
Utilizaremos agora a definição matemática de uma derivada para construirmos uma 
tabela de derivadas das principais funções. 
 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)('
0
 
 
D1) Função constante 
 
Kxf =)( )( ℜ∈K 0)(' =xf 
 
Exemplo 05: Por que a derivada de toda constante em relação a uma variável é igual a 
zero? 
 
Exemplo 06: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) 2)( =xf 
 
b) pi=)(xf 
 
c) ²)( txf = 
 
D2) Função potência 
 
nxxf =)( 1)(' −= nnxxf 
 
Exemplo 07: Demonstre a derivada da função potência utilizando a definição de 
derivadas. 
 
Exemplo 08: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) 6)( xxf = 
 
b) xxf =)( 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 118 
c) 
x
xf 1)( = 
 
d) 4
1)(
x
xf = 
 
e) xxf =)( 
 
f) 
3
²
1)(
x
xf = 
 
g) 5)( txf = 
 
 
D3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante )( ℜ∈K 
 
Se )(xfKy ⋅= , então )(' xfK
dx
dy
⋅= . 
 
Utilizando a definição de derivadas, temos 
 
)(')()(lim)()(lim
00
xfK
x
xfxxfK
x
xfKxxfK
dx
dy
xx
⋅=
∆
−∆+
⋅=
∆
⋅−∆+⋅
=
→∆→∆
. 
 
 
Exemplo 09: Calcule: 
 
a) ²)3( x
dx
d
 
 
b) [ ]54yDY − 
 
c) 



−
³
5
x
DX 
 
d) 





tdt
d 2
 
 
 
D4) Derivada de uma soma de funções 
 
Se )(xu e )(xv são funções deriváveis e )()()( xvxuxf ±= , então )(')(')(' xvxuxf ±= , 
ou seja, a derivada da soma de funções é a soma das derivadas das mesmas funções. 
Utilizando a definição de derivadas, temos 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 119 
[ ]
x
xvxuxxvxxu
x
xfxxf
xf
xx ∆
±−∆+±∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
)()()()(lim)()(lim)('
00
 
 
)(')(')()(lim)()(lim)('
00
xvxu
x
xvxxv
x
xuxxu
xf
xx
±=
∆
−∆+±
∆
−∆+
=
→∆→∆
. 
 
Exemplo 10: Calcule: 
 
a) ( )1612 3234 −+−+ txxx
dx
d
 
 
b) 





+−+ 2
3
4 23 xxx
dx
d
pi 
 
Exemplo 11: A posição de um corpo que se desloca em linha reta é dada por 
tttts 33)( 23 −+−= metros, no intervalo 30 ≤≤ t segundos. Pede-se: 
 
a) A velocidade média do corpo no intervalo indicado. 
b) A velocidade inicial e a velocidade final do corpo. 
c) A aceleração média do corpo no intervalo indicado. 
d) A aceleração inicial e a aceleração final do corpo. 
 
Exemplo 12: O volume de água em um tanque, t minutos após iniciar seu 
esvaziamento, é dado por 2)30(200)( ttQ −⋅= litros de água. Supondo que este tanque 
inicialmente se encontrava cheio, pede-se: 
 
a) A capacidade do tanque, em metros cúbicos. 
b) Em quanto tempo este tanque se esvaziará por completo? 
c) A taxa média de escoamento de água deste tanque durante os 10 primeiros minutos 
de vazão. 
d) A que taxa instantânea a água escoará ao fim de 10 minutos? 
 
Exemplo 13: Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura, dada por T 
graus Celsius t horas após a meia-noite é: 
 
)40400.(1,0)( 2tttT +−= 120 ≤≤ t h 
 
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h. 
b) Ache a taxa de variação instantânea de T em relação a t às 5h. 
 
Exemplo 14: Avalia-se que daqui a t semanas, a circulação de um jornal local pode ser 
aproximada pela função 5000400100)( 2 ++= tttC exemplares. Pede-se: 
 
a) Qual a taxa de variação média da circulação do jornal nas primeiras 5 semanas? 
b) Qual será a taxa de variação instantânea da circulação daqui a 5 semanas? 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 3 120 
D5) Função exponencial 
 
xaxf =)( 1,0 ≠>∀ aa )ln()(' aaxf x= 
 
Exemplo 15: Demonstre a derivada da função exponencial utilizando a definição de 
derivadas. 
 
Exemplo 16: Calcule 
dx
dy
 para as funções a seguir. 
 
a) xy 23 ⋅= 
 
b) 34 += xey 
 
c) ty 5= 
 
d) xey pi⋅= 
 
 
D6) Função logarítmica 
 
)(log)( xxf a= 1,0 ≠>∀ aa 
)ln(
1)('
ax
xf
⋅
= 
 
Exemplo 17: Demonstre a derivada da função logarítmica utilizando a definição de 
derivadas. 
 
Exemplo 18: Calcule )(' xy para as funções a seguir. 
 
a) )(log2)(log3 32 xxy += 
 
b) )log(4)ln(5 xxy += 
 
 
D7) Produto de funções 
 
Se )(xu e )(xv são funções de x deriváveis e )()()( xvxuxf ⋅= , pela definição de 
derivadas, temos 
 
h
xvxuhxvhxu
xf
h
)()()()(lim)('
0
⋅−+⋅+
=
→
 
 
Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo )()( xvhxu ⋅+ ao seu 
numerador, encontramos 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo
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