Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de NB019 - Cálculo I 1o Período Capítulo 3 2o Semestre de 2014 Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 115 Capítulo 3 DERIVADAS 3.1. Acréscimo da variável – x∆ Dados dois valores 0x e 1x da variável x, com 10 xx < , chamamos de acréscimo da variável a diferença 01 xxx −=∆ xxx ∆+= 01 3.2. Acréscimo da função – y∆ Para toda função )(xfy = , quando a variável independente x sofre um acréscimo x∆ , consequentemente a variável dependente y sofre um acréscimo y∆ . Este efeito é ilustrado no gráfico a seguir. De forma geral, o acréscimo da função é dado por )()( xfxxfy −∆+=∆ sempre que x sofrer um acréscimo x∆ . Exemplo 01: Calcule o acréscimo da função xxy 2² += após a variável x sofrer um acréscimo x∆ . Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 116 3.3. Razão incremental – x y ∆ ∆ É a razão entre os acréscimos da variável e da função, respectivamente. Isto é, x xfxxf x y ∆ −∆+ = ∆ ∆ )()( A razão incremental de uma função representa fisicamente a sua taxa de variação média. Exemplo 02: Calcule a razão incremental das funções a seguir: a) xxy 2² += b) xy 3= 3.4. Derivada de uma função Dada uma função )(xfy = , chamamos de derivada de )(xf em relação à variável x o limite da razão incremental quando x∆ tende a zero, ou seja, x xfxxf x y xx ∆ −∆+ = ∆ ∆ →∆→∆ )()(limlim 00 é a função derivada de )(xf em relação a x, cuja notações são dadas por [ ] [ ] x xfxxf xf xfD dx dy xy xf x X ∆ −∆+ = →∆ )()(lim )( )( )(' )(' 0 ' Vimos que a razão incremental de uma função representa fisicamente sua taxa de variação média. Ao dividirmos y∆ por x∆ , mesmo que façamos x∆ tender a zero, continuamos tendo como resultado uma taxa de variação da função, porém calculada próxima a um ponto. Isto significa que uma derivada de uma função representa fisicamente a sua taxa de variação instantânea. Exemplo 03: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. a) xxxf 2²)( += b) 52)( += xxf c) ³)( xxf = d) 4²)( += xxf Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 117 3.5. Derivada de uma função em um ponto ax = É o valor da derivada da função calculada em ax = , desde que fDa ∈ . Exemplo 04: Um corpo se desloca no espaço segundo a função ²325)( ttts ++= (MRUV), na qual )(ts indica a posição do corpo em metros e t o tempo em segundos. Pede-se: a) Sua velocidade média no intervalo ]5,1[∈t segundos. b) Sua velocidade nos instantes 1=t s e 5=t s. 3.6. Álgebra das derivadas Utilizaremos agora a definição matemática de uma derivada para construirmos uma tabela de derivadas das principais funções. x xfxxf xf x ∆ −∆+ = →∆ )()(lim)(' 0 D1) Função constante Kxf =)( )( ℜ∈K 0)(' =xf Exemplo 05: Por que a derivada de toda constante em relação a uma variável é igual a zero? Exemplo 06: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. a) 2)( =xf b) pi=)(xf c) ²)( txf = D2) Função potência nxxf =)( 1)(' −= nnxxf Exemplo 07: Demonstre a derivada da função potência utilizando a definição de derivadas. Exemplo 08: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. a) 6)( xxf = b) xxf =)( Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 118 c) x xf 1)( = d) 4 1)( x xf = e) xxf =)( f) 3 ² 1)( x xf = g) 5)( txf = D3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante )( ℜ∈K Se )(xfKy ⋅= , então )(' xfK dx dy ⋅= . Utilizando a definição de derivadas, temos )(')()(lim)()(lim 00 xfK x xfxxfK x xfKxxfK dx dy xx ⋅= ∆ −∆+ ⋅= ∆ ⋅−∆+⋅ = →∆→∆ . Exemplo 09: Calcule: a) ²)3( x dx d b) [ ]54yDY − c) − ³ 5 x DX d) tdt d 2 D4) Derivada de uma soma de funções Se )(xu e )(xv são funções deriváveis e )()()( xvxuxf ±= , então )(')(')(' xvxuxf ±= , ou seja, a derivada da soma de funções é a soma das derivadas das mesmas funções. Utilizando a definição de derivadas, temos Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 119 [ ] x xvxuxxvxxu x xfxxf xf xx ∆ ±−∆+±∆+ = ∆ −∆+ = →∆→∆ )()()()(lim)()(lim)(' 00 )(')(')()(lim)()(lim)(' 00 xvxu x xvxxv x xuxxu xf xx ±= ∆ −∆+± ∆ −∆+ = →∆→∆ . Exemplo 10: Calcule: a) ( )1612 3234 −+−+ txxx dx d b) +−+ 2 3 4 23 xxx dx d pi Exemplo 11: A posição de um corpo que se desloca em linha reta é dada por tttts 33)( 23 −+−= metros, no intervalo 30 ≤≤ t segundos. Pede-se: a) A velocidade média do corpo no intervalo indicado. b) A velocidade inicial e a velocidade final do corpo. c) A aceleração média do corpo no intervalo indicado. d) A aceleração inicial e a aceleração final do corpo. Exemplo 12: O volume de água em um tanque, t minutos após iniciar seu esvaziamento, é dado por 2)30(200)( ttQ −⋅= litros de água. Supondo que este tanque inicialmente se encontrava cheio, pede-se: a) A capacidade do tanque, em metros cúbicos. b) Em quanto tempo este tanque se esvaziará por completo? c) A taxa média de escoamento de água deste tanque durante os 10 primeiros minutos de vazão. d) A que taxa instantânea a água escoará ao fim de 10 minutos? Exemplo 13: Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura, dada por T graus Celsius t horas após a meia-noite é: )40400.(1,0)( 2tttT +−= 120 ≤≤ t h a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h. b) Ache a taxa de variação instantânea de T em relação a t às 5h. Exemplo 14: Avalia-se que daqui a t semanas, a circulação de um jornal local pode ser aproximada pela função 5000400100)( 2 ++= tttC exemplares. Pede-se: a) Qual a taxa de variação média da circulação do jornal nas primeiras 5 semanas? b) Qual será a taxa de variação instantânea da circulação daqui a 5 semanas? Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 120 D5) Função exponencial xaxf =)( 1,0 ≠>∀ aa )ln()(' aaxf x= Exemplo 15: Demonstre a derivada da função exponencial utilizando a definição de derivadas. Exemplo 16: Calcule dx dy para as funções a seguir. a) xy 23 ⋅= b) 34 += xey c) ty 5= d) xey pi⋅= D6) Função logarítmica )(log)( xxf a= 1,0 ≠>∀ aa )ln( 1)(' ax xf ⋅ = Exemplo 17: Demonstre a derivada da função logarítmica utilizando a definição de derivadas. Exemplo 18: Calcule )(' xy para as funções a seguir. a) )(log2)(log3 32 xxy += b) )log(4)ln(5 xxy += D7) Produto de funções Se )(xu e )(xv são funções de x deriváveis e )()()( xvxuxf ⋅= , pela definição de derivadas, temos h xvxuhxvhxu xf h )()()()(lim)(' 0 ⋅−+⋅+ = → Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo )()( xvhxu ⋅+ ao seu numerador, encontramos Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo