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Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de NB019 - Cálculo I 1o Período Capítulo 3 2o Semestre de 2014 Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 115 Capítulo 3 DERIVADAS 3.1. Acréscimo da variável – x∆ Dados dois valores 0x e 1x da variável x, com 10 xx < , chamamos de acréscimo da variável a diferença 01 xxx −=∆ xxx ∆+= 01 3.2. Acréscimo da função – y∆ Para toda função )(xfy = , quando a variável independente x sofre um acréscimo x∆ , consequentemente a variável dependente y sofre um acréscimo y∆ . Este efeito é ilustrado no gráfico a seguir. De forma geral, o acréscimo da função é dado por )()( xfxxfy −∆+=∆ sempre que x sofrer um acréscimo x∆ . Exemplo 01: Calcule o acréscimo da função xxy 2² += após a variável x sofrer um acréscimo x∆ . Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 116 3.3. Razão incremental – x y ∆ ∆ É a razão entre os acréscimos da variável e da função, respectivamente. Isto é, x xfxxf x y ∆ −∆+ = ∆ ∆ )()( A razão incremental de uma função representa fisicamente a sua taxa de variação média. Exemplo 02: Calcule a razão incremental das funções a seguir: a) xxy 2² += b) xy 3= 3.4. Derivada de uma função Dada uma função )(xfy = , chamamos de derivada de )(xf em relação à variável x o limite da razão incremental quando x∆ tende a zero, ou seja, x xfxxf x y xx ∆ −∆+ = ∆ ∆ →∆→∆ )()(limlim 00 é a função derivada de )(xf em relação a x, cuja notações são dadas por [ ] [ ] x xfxxf xf xfD dx dy xy xf x X ∆ −∆+ = →∆ )()(lim )( )( )(' )(' 0 ' Vimos que a razão incremental de uma função representa fisicamente sua taxa de variação média. Ao dividirmos y∆ por x∆ , mesmo que façamos x∆ tender a zero, continuamos tendo como resultado uma taxa de variação da função, porém calculada próxima a um ponto. Isto significa que uma derivada de uma função representa fisicamente a sua taxa de variação instantânea. Exemplo 03: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. a) xxxf 2²)( += b) 52)( += xxf c) ³)( xxf = d) 4²)( += xxf Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 117 3.5. Derivada de uma função em um ponto ax = É o valor da derivada da função calculada em ax = , desde que fDa ∈ . Exemplo 04: Um corpo se desloca no espaço segundo a função ²325)( ttts ++= (MRUV), na qual )(ts indica a posição do corpo em metros e t o tempo em segundos. Pede-se: a) Sua velocidade média no intervalo ]5,1[∈t segundos. b) Sua velocidade nos instantes 1=t s e 5=t s. 3.6. Álgebra das derivadas Utilizaremos agora a definição matemática de uma derivada para construirmos uma tabela de derivadas das principais funções. x xfxxf xf x ∆ −∆+ = →∆ )()(lim)(' 0 D1) Função constante Kxf =)( )( ℜ∈K 0)(' =xf Exemplo 05: Por que a derivada de toda constante em relação a uma variável é igual a zero? Exemplo 06: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. a) 2)( =xf b) pi=)(xf c) ²)( txf = D2) Função potência nxxf =)( 1)(' −= nnxxf Exemplo 07: Demonstre a derivada da função potência utilizando a definição de derivadas. Exemplo 08: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x. a) 6)( xxf = b) xxf =)( Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 118 c) x xf 1)( = d) 4 1)( x xf = e) xxf =)( f) 3 ² 1)( x xf = g) 5)( txf = D3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante )( ℜ∈K Se )(xfKy ⋅= , então )(' xfK dx dy ⋅= . Utilizando a definição de derivadas, temos )(')()(lim)()(lim 00 xfK x xfxxfK x xfKxxfK dx dy xx ⋅= ∆ −∆+ ⋅= ∆ ⋅−∆+⋅ = →∆→∆ . Exemplo 09: Calcule: a) ²)3( x dx d b) [ ]54yDY − c) − ³ 5 x DX d) tdt d 2 D4) Derivada de uma soma de funções Se )(xu e )(xv são funções deriváveis e )()()( xvxuxf ±= , então )(')(')(' xvxuxf ±= , ou seja, a derivada da soma de funções é a soma das derivadas das mesmas funções. Utilizando a definição de derivadas, temos Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 119 [ ] x xvxuxxvxxu x xfxxf xf xx ∆ ±−∆+±∆+ = ∆ −∆+ = →∆→∆ )()()()(lim)()(lim)(' 00 )(')(')()(lim)()(lim)(' 00 xvxu x xvxxv x xuxxu xf xx ±= ∆ −∆+± ∆ −∆+ = →∆→∆ . Exemplo 10: Calcule: a) ( )1612 3234 −+−+ txxx dx d b) +−+ 2 3 4 23 xxx dx d pi Exemplo 11: A posição de um corpo que se desloca em linha reta é dada por tttts 33)( 23 −+−= metros, no intervalo 30 ≤≤ t segundos. Pede-se: a) A velocidade média do corpo no intervalo indicado. b) A velocidade inicial e a velocidade final do corpo. c) A aceleração média do corpo no intervalo indicado. d) A aceleração inicial e a aceleração final do corpo. Exemplo 12: O volume de água em um tanque, t minutos após iniciar seu esvaziamento, é dado por 2)30(200)( ttQ −⋅= litros de água. Supondo que este tanque inicialmente se encontrava cheio, pede-se: a) A capacidade do tanque, em metros cúbicos. b) Em quanto tempo este tanque se esvaziará por completo? c) A taxa média de escoamento de água deste tanque durante os 10 primeiros minutos de vazão. d) A que taxa instantânea a água escoará ao fim de 10 minutos? Exemplo 13: Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura, dada por T graus Celsius t horas após a meia-noite é: )40400.(1,0)( 2tttT +−= 120 ≤≤ t h a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h. b) Ache a taxa de variação instantânea de T em relação a t às 5h. Exemplo 14: Avalia-se que daqui a t semanas, a circulação de um jornal local pode ser aproximada pela função 5000400100)( 2 ++= tttC exemplares. Pede-se: a) Qual a taxa de variação média da circulação do jornal nas primeiras 5 semanas? b) Qual será a taxa de variação instantânea da circulação daqui a 5 semanas? Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 120 D5) Função exponencial xaxf =)( 1,0 ≠>∀ aa )ln()(' aaxf x= Exemplo 15: Demonstre a derivada da função exponencial utilizando a definição de derivadas. Exemplo 16: Calcule dx dy para as funções a seguir. a) xy 23 ⋅= b) 34 += xey c) ty 5= d) xey pi⋅= D6) Função logarítmica )(log)( xxf a= 1,0 ≠>∀ aa )ln( 1)(' ax xf ⋅ = Exemplo 17: Demonstre a derivada da função logarítmica utilizando a definição de derivadas. Exemplo 18: Calcule )(' xy para as funções a seguir. a) )(log2)(log3 32 xxy += b) )log(4)ln(5 xxy += D7) Produto de funções Se )(xu e )(xv são funções de x deriváveis e )()()( xvxuxf ⋅= , pela definição de derivadas, temos h xvxuhxvhxu xf h )()()()(lim)(' 0 ⋅−+⋅+ = → Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo )()( xvhxu ⋅+ ao seu numerador, encontramos Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo3 121 )(')()(')()(' )()(lim)(lim)()(lim)(lim)(' )()()()()()(lim)(' )()()()()()()()(lim)(' 0000 0 0 xuxvxvxuxf h xuhxu xv h xvhxvhxuxf h xuhxu xv h xvhxvhxuxf h xvxuxvhxuxvhxuhxvhxu xf hhhh h h ⋅+⋅= −+ ⋅+ −+ ⋅+= −+ ⋅+ −+ ⋅+= ⋅−⋅++⋅+−+⋅+ = →→→→ → → De forma resumida, ( ) '' vuvuvu dx d ⋅+⋅=⋅ . Este resultado é conhecido como regra do produto de derivação, de onde se conclui que a derivada do produto de duas funções não é igual ao produto das derivadas das mesmas funções. Para três funções de x deriváveis, dadas por )(xu , )(xv e )(xh , temos ( ) ''' hvuhvuhvuhvu dx d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ Este resultado pode ser estendido para o produto de n funções de x. Por exemplo, ao derivarmos em relação a x um produto de 5 funções de x, o resultado é dado pela derivada da primeira função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da segunda função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da terceira função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da quarta função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da quinta função multiplicada pelas demais. Exemplo 19: Calcule a derivada em relação a x das funções a seguir. a) )(log3)(log³3 35 xxxy x ⋅+⋅= b) 26 2)ln(7 xxxy x ⋅+⋅= c) )log(3 xy t ⋅= d) ( ))(log³65 6 xxxy x ⋅+⋅= D8) Quociente de funções Se )(xu e )(xv são funções de x deriváveis e )( )()( xv xu xf = , pela definição de derivadas, temos Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 122 [ ] h hxvxuxvhxu xv xf h hxvxuxvhxu xvhxv xf xvhxv hxvxuxvhxu h xf h xvhxv hxvxuxvhxu h xv xu hxv hxu xf h hh h hh )()()()(lim)( 1)(' )()()()(lim)()( 1lim)(' )()( )()()()(1lim)(' )()( )()()()( lim)( )( )( )( lim)(' 02 00 0 00 +⋅−⋅+ ⋅= +⋅−⋅+ ⋅ ⋅+ = ⋅+ +⋅−⋅+ ⋅= ⋅+ +⋅−⋅+ = − + + = → →→ → →→ Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo )()( xvxu ⋅ ao numerador do limite, encontramos [ ] [ ] [ ] [ ]2 002 02 02 )( )(')()(')()(' )()(lim)()()(lim)()( 1)(' )()()()()()(lim)( 1)(' )()()()()()()()(lim)( 1)(' xv xvxuxuxv xf h xvhxv xu h xuhxu xv xv xf h xvhxv xu h xuhxu xv xv xf h hxvxuxvxuxvxuxvhxu xv xf hh h h ⋅−⋅ = −+ ⋅− −+ ⋅⋅= −+ ⋅− −+ ⋅⋅= +⋅−⋅+⋅−⋅+ ⋅= →→ → → De forma resumida, 2 '' v vuvu v u dx d ⋅−⋅ = . Este resultado é conhecido como regra do quociente de derivação, de onde se conclui que a derivada do quociente de duas funções não é igual ao quociente das derivadas das mesmas funções. Exemplo 20: Calcule a derivada em relação a x das funções a seguir. a) x xy pi pi = b) 42 3 23 23 −+ −+ = xx xxxy Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 123 c) ( )( ) 523 2 )ln(10 453 )log(43 x x xxx xxxy x x ⋅ + +−⋅ ⋅+− = D9) Funções trigonométricas a) )(sen)( xxf = )cos()(' xxf = Exemplo 21: Sabendo que + ⋅ − ⋅=− 2 cos 2 sen2)(sen)(sen qpqpqp , utilize a definição matemática de derivadas para calcular a derivada de )(sen)( xxf = . b) )(cos)( xxf = )(sen)(' xxf −= Exemplo 22: Sabendo que − ⋅ + ⋅−=− 2 sen 2 sen2)cos()(cos qpqpqp , utilize a definição matemática de derivadas para calcular a derivada de )cos()( xxf = . c) )(tg)( xxf = )(sec)(' 2 xxf = Exemplo 23: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de )(tg)( xxf = . d) )(cotg)( xxf = )(seccos)(' 2 xxf −= Exemplo 24: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de )(cotg)( xxf = . e) )sec()( xxf = )(tg)sec()(' xxxf ⋅= Exemplo 25: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de )sec()( xxf = . f) )sec(cos)( xxf = )(cotg)sec(cos)(' xxxf ⋅−= Exemplo 26: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de )sec(cos)( xxf = . D10) Funções trigonométricas inversas Respeitados os domínios das funções trigonométricas inversas, temos: a) )(arcsen)( xxf = 21 1)(' x xf − = Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 124 b) )(arccos)( xxf = 21 1)(' x xf − − = c) )(arctg)( xxf = 21 1)(' x xf + = d) )(arccotg)( xxf = 21 1)(' x xf + − = e) )(arcsec)( xxf = 1 1)(' 2 − = xx xf f) )(arccossec)( xxf = 1 1)(' 2 − − = xx xf A demonstração destas derivadas será possível após o estudo da regra da cadeia e de derivação implícita, assuntos dos próximos itens. 3.7. Derivada de funções compostas – regra da cadeia Se )(ufy = e )(xgu = , então y é uma função composta de x, dada por ))(( xgfy = , como visto no capítulo 1. Exemplo 27: Encontre a função composta ))(( xgfy = , sabendo que: a) )ln(xu = 4uy = b) 2xu = )cos(uy = A derivada de funções compostas, quando lidamos com apenas duas funções para obter esta composta, é calculada da seguinte forma: dx du du dy dx dy ⋅= . Este resultado pode ser estendido quando desejamos derivar uma função composta obtida de mais de duas funções. Exemplo 28: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x, utilizando a regra da cadeia. a) 32 )2( xxy += b) )(sen 4 xy = c) )(sen 4xy = d) ))e(tgln( 2xy = Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 125 e) )35cos(2 xxy ⋅= f) 546 2 )27( ))cos(ln( xx xy − = g) [ ][ ])ln(sec )log(5sen 6 523 x xy xx ⋅ = + Podemos refazer a tabela de diretivas. Assim: 1) [ ] [ ] )(')(')( 1 xfxfnyxfy nn ⋅⋅=⇒= − 2) )(')()()('')()( xgxfxgxfyxgxfy ⋅+⋅=⇒⋅= 3) [ ]2)( )(')()()(' ')( )( xg xgxfxgxfy xg xfy ⋅−⋅=⇒= 4) )(')ln(' )()( xfaayay xfxf ⋅⋅=⇒= 5) [ ] )(')ln()( 1 ')(log xf axfyxfy a ⋅⋅=⇒= 6) [ ] [ ] )(')(cos')(sen xfxfyxfy ⋅=⇒= 7) [ ] [ ] )(')(sen')(cos xfxfyxfy ⋅−=⇒= 8) [ ] [ ] )(')(sec')(tg 2 xfxfyxfy ⋅=⇒= 9) [ ] [ ] )(')(cossec')(cotg 2 xfxfyxfy ⋅−=⇒= 10) [ ] [ ] [ ] )(')(t)(sec')(sec xfxfgxfyxfy ⋅⋅=⇒= 11) [ ] [ ] [ ] )(')(cotg)(cossec')(cossec xfxfxfyxfy ⋅⋅−=⇒= 12) [ ] [ ] )(')(1 1 ')(arcsen 2 xf xf yxfy ⋅ − =⇒= 13) [ ] [ ] )(')(1 1 ')(arccos 2 xf xf yxfy ⋅ − − =⇒= 14) [ ] [ ] )(')(1 1 ')(arctg 2 xf xfyxfy ⋅+=⇒= 15) [ ] [ ] )(')(1 1 ')(arccotg 2 xf xfyxfy ⋅+ − =⇒= Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 126 16) [ ] [ ] )('1)()( 1 ')(arcsec 2 xf xfxf yxfy ⋅ −⋅ =⇒= 17) [ ] [ ] )('1)()( 1 ')(arccossec 2 xf xfxf yxfy ⋅ −⋅ − =⇒= , e assim por diante. D11) Funções hiperbólicas Exemplo 29: Sabendo que 2 ee)(senh xx x − − = e 2 ee)(cosh xx x −+ = , determine suas derivadas e as derivadas de )(tgh x , )(cotgh x , )(sech x e )(cossech x . 3.8. Derivada das funções implícitasUma função é dita implícita quando sua equação define mais de uma expressão ao mesmo tempo ou quando não é possível fazer a separação de variáveis, ou seja, não é possível escrever )(xfy = . Exemplo 30: São funções implícitas: a) 922 =+ yx O item a representa a equação de uma circunferência de raio 3, centrada na origem dos eixos coordenados. É uma função implícita devido ao fato de y definir duas expressões em função de x. b) xyx xyy 2)cos(e 2 ⋅=+⋅ O item b é uma função implícita devido ao fato de não ser possível escrever )(xfy = . A derivada de uma função implícita é obtida através da derivação dos dois membros da equação em relação a x, considerando )(xfy = , o que exige a utilização da regra da cadeia. Existem funções que mesmo não sendo implícitas, podem ser derivadas de forma implícita. Exemplo 31: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x, utilizando a derivação implícita. a) 922 =+ yx b) xyx xyy 2)cos(e 2 ⋅=+⋅ c) 15e)cos( 34 +=⋅−+ xxyy y Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 127 d) )(tg)(sen yx = e) )(sen 422 yxy ⋅= f) 2 5 4 5 )cos()(sen y x y x = g) )(arcsen xy = h) )(arctg xy = D12) Função exponencial composta A função exponencial composta possui o seguinte formato: )()( xgxfy = Exemplo 32: De posse da função exponencial composta )()( xgxfy = , tome o logaritmo neperiano dos dois membros, derive y implicitamente em relação a x e prove que )(')()()(')](ln[)( 1)()( xfxfxgxgxfxf dx dy xgxg ⋅⋅+⋅⋅= − Observe que a derivada de uma função exponencial composta corresponde a uma combinação das derivadas de uma função exponencial e de uma função polinomial. Exemplo 33: Derive as funções a seguir em relação a x. a) ( ) xxy 32= b) )(cos 22 xxy = c) )(sen xxy = d) [ ] )ln()sec(cos xxy = Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 128 3.9. Significado geométrico da derivada de uma função em um ponto Considere o gráfico da função )(xfy = a seguir e um ponto ( ))(, 00 xfxP pertencente à curva. Dando a 0x um acréscimo x∆ , obtemos o ponto ( ))(, 00 xxfxxQ ∆+∆+ . Tracemos a reta s, secante ao gráfico, passando pelos pontos P e Q. Do PQR∆ , podemos afirmar que sm x y tg = ∆ ∆ =)(θ , ou seja, a razão incremental da função que mede a sua taxa de variação média entre os pontos P e Q é o valor do coeficiente angular da reta s. Fazendo 0→∆x , teremos como conseqüências ts mm ts PQ → → → → → )(tg)(tg αθ αθ Assim, x y ∆ ∆ = →∆→∆ 0x0x lim)(tglim θ , de onde concluímos que )(')(tg 0xfmt ==α . A derivada de uma função )(xfy = calculada em um ponto ( ))(, 00 xfxP é o coeficiente angular da reta tangente à curva )(xfy = no mesmo ponto ( ))(, 00 xfxP . Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 129 Exemplo 35: Dada a parábola 2xy = , obtenha a equação da reta tangente a esta curva no ponto de abscissa 2=x . Exemplo 36: Encontre a equação da reta tangente à curva 0933 =−+ xyyx no ponto )4,2(P . Exemplo 37: Encontre a equação da reta tangente à curva 02 22 =+− xxyxy no ponto de abscissa 3−=x , sabendo que este ponto pertence ao 3º quadrante do sistema de coordenadas cartesianas. Exemplo 38: Obtenha a equação da reta tangente à curva )( )(2 xtg xseny = no ponto de abscissa . 3 pi 3.10. Derivação sucessiva Dada uma função )(xfy = , sua derivada dada por )('' xfy = é denominada derivada 1ª de )(xfy = ou derivada de ordem 1 de )(xfy = . Por sua vez, )('' xfy = pode ser novamente derivada, resultando em )('''' xfy = , denominada derivada 2ª de )(xfy = ou derivada de ordem 2 de )(xfy = . E assim sucessivamente, podemos calcular as derivadas 3ª, 4ª, 5ª,..., nª de )(xfy = . A notação utilizada para as derivadas de ordens superiores é a seguinte: ).( de n derivada )( ).( de 3 derivada )('''''' ).( de 2 derivada )('''' ).( de 1 derivada )('' primitiva. função )( a)()( a 3 3 a 2 2 a xf dx yd xfy xf dx yd xfy xf dx yd xfy xf dx dy xfy xfy n n nn →== →== →== →== →= M Observação: n n n dx dy dx yd ≠ Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 130 Exemplo 39: Para a função implícita dada por xyxyx 322 =⋅+⋅ , calcule a derivada segunda de y em relação a x. Exemplo 40: Calcule a derivada de ordem n das funções a seguir em relação a x. a) 78943 234 −+−= xxxy b) xy 2e−= c) xy −= 3 d) )ln(xy = Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 131 RESPOSTAS DOS EXEMPLOS 01) xxxxy ∆+∆+∆=∆ 22 2 02) a) 22 +∆+= ∆ ∆ xx x y b) 3= ∆ ∆ x y 03) a) 22)(' += xxf b) 2)(' =xf c) 23)(' xxf = d) 4 )(' 2 + = x x xf 04) a) sm t s / 20= ∆ ∆ b) smv / 8)1( = smv / 32)5( = 05) Porque uma constante não varia. 06) a) 0)(' =xf b) 0)(' =xf c) 0)(' =xf 07) Demonstração feita em sala de aula. 08) a) 56)(' xxf = b) 1)(' =xf c) 2 1)(' x xf −= d) 5 4)(' x xf −= e) x xf 2 1)(' = f) 2 3 3 2)(' x x xf −= g) 0)(' =xf 09) a) x6 b) 420y− c) 4 15 x d) 2t t − 10) a) xxx 12364 23 −+ b) pi−+ xx 3 83 2 11) a) sm t s / 3−= ∆ ∆ b) smv / 3)0( −= smv / 12)3( −= c) 2/ 3 sm t v −= ∆ ∆ b) 2/ 6)0( sma = 2/ 12)3( sma −= Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 132 12) a) 1800 =Q 3m b) 30 min c) 10000−= ∆ ∆ t Q l/min d) 8000)10(' −=Q l/min 13) a) /9,2 hC t T °−= ∆ ∆ b) /3)5(' hCT °−= 14) a) / 900 semanaexemplares t C = ∆ ∆ b) / 1400)5(' semanaexemplaresC = 15) Demonstração feita em sala de aula. 16) a) )2ln(23 ⋅⋅= x dx dy b) x dx dy e4 ⋅= c) 0= dx dy d) )ln(e pipi ⋅⋅= x dx dy 17) Demonstração feita em sala de aula. 18) a) )3ln( 2 )2ln( 3)(' ⋅ + ⋅ = xx xy b) )10ln( 45)(' ⋅ += xx xy 19) a) )3ln( 3)(log)3ln(3)5ln( 3)(log9 3 2 5 2 x x x xx dx dy xx +++= b) [ ] [ ]xxxx dx dy x 2)2ln(27)ln(42 25 +++= c) )10ln( 3 xdx dy t = d) ++ += )6ln( 6)(log21)5ln( 2 15 2 6 2 xxx x x dx dy x 20) a) xx xx xxxx dx dy pi pipi pi pipipipi pipipipi )ln()ln( 1 2 1 − = − = −− b) ( )( ) ( )( )( )223 22323242 26342163 −+ +−+−−+−+ = xx xxxxxxxxx dx dy Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 133 c) [ ] 10 45 2232 223223 2 5)ln(1010)ln()10ln(10 )45(3 )4103(3)45)(3ln(3)log()43()45(3)10ln( 43)log()32( x xxx x x xxx xxxxxxxxxxx x xx xx dx dy x x x x xxx ⋅−⋅ + + +− +−++−⋅+−−+−⋅ +− +− = 21) Demonstração feita em sala de aula. 22) Demonstração feita em sala de aula. 23) Demonstração feita em sala de aula. 24) Demonstração feita em sala de aula. 25) Demonstração feita em sala de aula. 26) Demonstração feita em sala de aula. 27) a) )(ln4 xy = b) )cos( 2xy = 28) a) ( ) ( )2223 22 ++= xxx dx dy b) )cos()(sen4 3 xx dx dy = c) )cos(4 43 xx dx dy = d) )e(sec)e(cotge2 2222 xxx dx dy = e) ( ) ( ) [ ])3ln(353535sen)2ln(2 35cos xxxx xx dx dy x ⋅+⋅⋅⋅−= ⋅ f) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1046 3544625462 27 84227)ln(cos5272)ln(sen xx xxxxxxx x x dx dy − −⋅−⋅−−⋅⋅− = g) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])ln(sec 6)ln(tg)ln(sec)log(5sen)ln(sec)10ln( 55)log(23)5ln(5)log(5cos 62 66526252252 3333 x x xxxx x xxx dx dy xxxxxxxx ⋅−⋅ ⋅++⋅ = ++++ 29) [ ] )cosh()(senh xx dx d = [ ] )(senh)cosh( xx dx d = [ ] )(sech)(tgh 2 xx dx d = [ ] )(sechcos)(cotgh 2 xx dx d −= [ ] )(tgh)(sech)(sech xxx dx d −= Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 134 [ ] )(cotgh)(sechcos)(cossech xxx dx d −= 31) a) y xy −=' b) )2ln(2)(sene e)2ln(22 ' 3 21 ⋅⋅−− ⋅−⋅⋅+⋅ = + xy yyxxy xyx xxyxy c) 3 3 e3)(sen4 e5 ' 23 y y xyyy y −− + = d) )(sec )cos( ' 2 y xy = e) )cos(2 )(sen ' 432 4 yyxy yxy − ⋅ = f) y xxy 2 )(sec5 ' 524 = g) 21 1 ' x y − = h) 21 1 ' x y + = 33) a) ( ) ( ) 133 26)2ln(23 −⋅+⋅⋅= xx xxx dx dy b) )(sen22221)(cos 2222 )(cos)(sen)cos()ln(4 xx xxxxxx dx dy −+ ⋅+⋅⋅⋅−= c) [ ]1)ln()cos( +⋅⋅= xxx dx dy xx d) [ ] [ ] [ ] )(cotg)(cossec)ln()(cossecln)(cossec )ln(1)ln( xxxxxx dx dy xx ⋅⋅−⋅⋅= − 34) 44 −= xy 35) ( )2 5 44 −=− xy 36) ( )3 4 11 +=+ xy 37) −−=− 32 1 4 3 pi xy 38) ( )( ) ( )( )( )22 22 2 2'22232'22'2 '' xxy xyxyxyyxxyyxyyyy + +⋅+−−−+⋅−−⋅− = , em que 2 2 2 23 ' xxy xyyy + −− = Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações Curso de Cálculo I – Capítulo 3 135 39) a) 5 0 ≥∀= n dx yd n n b) ( ) x n n dx yd 2n e2 −⋅−= c) [ ] x n n dx yd − ⋅−= 3)3ln( n d) ( ) ( ) nn n x n dx yd !11 1n −⋅−= +
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