Logo Passei Direto
Buscar

Matemática

Outros
A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 2/3 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior. A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 21.
User badge image
Matematicamente

ano passado

User badge image
Matematicamente

ano passado

Listão de Problemas de Matemática
16 pág.

Listão de Problemas de Matemática

UNESP

Respostas

User badge image

Ed Verified user icon

ano passado

Para resolver essa questão, vamos analisar a sequência dos triângulos equiláteros e calcular a soma dos perímetros. 1. O lado do primeiro triângulo mede 1. Portanto, o perímetro do primeiro triângulo é: \[ P_1 = 3 \times 1 = 3 \] 2. O lado do segundo triângulo é \( \frac{2}{3} \) do lado do primeiro, ou seja: \[ L_2 = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3} \] O perímetro do segundo triângulo é: \[ P_2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \] 3. O lado do terceiro triângulo é \( \frac{2}{3} \) do lado do segundo: \[ L_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \] O perímetro do terceiro triângulo é: \[ P_3 = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{3} \] 4. Podemos observar que a sequência dos perímetros forma uma progressão geométrica (PG) onde: - O primeiro termo \( a = 3 \) - A razão \( r = \frac{2}{3} \) 5. A soma dos termos de uma PG infinita é dada pela fórmula: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] Substituindo os valores: \[ S = \frac{3}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 3 \times 3 = 9 \] Portanto, a soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é: a) 9.

Essa resposta te ajudou?

0
Dislike0

Ainda não achou a resposta?

  • Integrado com os principais modelos de IA do mercado
  • Respostas em segundos
  • IA treinada para estudantes brasileiros.
PasseIA logoEvolua sua forma de estudar

Cadastre-se ou realize login

Ainda com dúvidas?

Envie uma pergunta e tenha sua dúvida de estudo respondida!

Essa pergunta também está no material:

Listão de Problemas de Matemática
16 pág.

Listão de Problemas de Matemática

UNESP

Mais perguntas desse material

Para que a sequência (9, 5, 3) se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é:
a) par
b) quadrado perfeito
c) primo
d) maior que 15
e) não inteiro

A figura a seguir é uma representação do Sistema Solar. Em 1766, o astrônomo alemão J. D. Tietz observou que as distâncias heliocêntricas dos planetas até então conhecidos e do cinturão de asteroides obedeciam, com boa aproximação, a um padrão conhecido hoje como lei de Titius-Bode. Segundo esse padrão, a partir do planeta Vênus e incluindo o cinturão de asteroides, subtraindo-se 0,4 das distâncias heliocêntricas, em unidades astronômicas (UA), obtém-se uma progressão geométrica com termo inicial 0,3 e razão 2. A distância da Terra ao Sol, por exemplo, é de, aproximadamente, 1 UA e, neste caso, 1 0,4 0,3 2. Determine, segundo a lei de Titius-Bode, a distância heliocêntrica, em UA, do planeta Júpiter.

Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é:
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
e) 7 m

Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto P0, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto P3, em r. Na figura, O1, O2 e O3 são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R2, R4 seus respectivos raios. A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por On e Rn = R/2, respectivamente, até o ponto Pn, também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a:
a) 22 R.π
b) 32 R.π
c) n2 R.π
d) 7R/4.π
e) 2 R.π

A figura abaixo é uma construção geométrica feita da seguinte forma: considere r um número real positivo qualquer. Usando a reta de apoio, a primeira semicircunferência foi construída com raio r, o triângulo inscrito nesta semicircunferência possui base 2r e altura r. A área da região entre a primeira semicircunferência e o triângulo inscrito chamaremos de A1. A segunda semicircunferência foi construída de modo a ter um ponto em comum com a primeira semicircunferência e este ponto pertence à reta de apoio. O raio da segunda semicircunferência é r/2. O triângulo inscrito na segunda semicircunferência possui base 2r/2 e altura r/2. A área da região entre a segunda semicircunferência e o triângulo inscrito chamaremos de A2. As próximas construções seguem o mesmo padrão, ou seja, o raio de uma semicircunferência é sempre a metade do raio da anterior e todas as semicircunferências possuem um triângulo inscrito conforme a construção acima. Denotamos por An a área entre a n-ésima semicircunferência e o respectivo triângulo inscrito. Com base na figura e nas informações acima, é correto afirmar que:
a) A1, A2, A3, ..., An é uma progressão geométrica de razão 1/2
b) A1, A2, A3, ..., An é uma progressão aritmética de razão 1/2
c) A sequência A1, A2, A3, ..., An não é uma progressão geométrica e também não é uma progressão aritmética.
d) A2n = 2n - 1 * r^2 * π
e) A2n = 2n - 1 * (2)r^2 * π

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1. Considere um círculo C0 inscrito a ABC e, em seguida, construa um círculo C1 tangente a C0, AB e BC e outro círculo C’1 também tangente a C0, BC e AC. Continue construindo infinitos círculos Cn tangentes a Cn–1, AB e BC. Faça o mesmo para os círculos C’n também tangentes a C’n–1, BC e AC. A seguir, a figura representa um exemplo com cinco círculos. A soma dos comprimentos de todos os infinitos círculos é:
a) infinita
b) π
c) 3/3π
d) 2/3π

Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em C, em que µ = 30°. Nesse triângulo está representada uma sequência de segmentos cujas medidas estão indicadas por L1, L2, L3, ..., Ln, em que cada segmento é perpendicular a um dos lados do ângulo de vértice A. O valor L1/L9 é:
a) 27/3^128
b) 1/128
c) 81/256
d) 27/64
e) 1/256

Seja S(n) a sequência definida por a1 = 5 e a_n = 1/n a_n-1 para n ≥ 1. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a:
a) 1
b) 10
c) 20
d) 25
e) 5

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos sombreados são triângulos semelhantes tais que as alturas correspondentes formam uma progressão geométrica de razão 1/2. Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triângulos sombreados é:
a) 9.8
b) 11.8
c) 13.8
d) 15.8
e) 17.8

Mais conteúdos dessa disciplina