Para calcular a área da região limitada pelas funções \(y = x\), \(y = 3x\) e \(x + y = 4\), precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas funções. 1. Interseção entre \(y = x\) e \(y = 3x\): \[ x = 3x \implies 0 = 2x \implies x = 0 \implies y = 0 \] O ponto de interseção é \((0, 0)\). 2. Interseção entre \(y = x\) e \(x + y = 4\): \[ y = x \implies x + x = 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \implies y = 2 \] O ponto de interseção é \((2, 2)\). 3. Interseção entre \(y = 3x\) e \(x + y = 4\): \[ y = 3x \implies x + 3x = 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1 \implies y = 3 \] O ponto de interseção é \((1, 3)\). Agora temos os pontos de interseção: \((0, 0)\), \((2, 2)\) e \((1, 3)\). A região delimitada pelas funções é um triângulo com vértices em \((0, 0)\), \((2, 2)\) e \((1, 3)\). Para calcular a área do triângulo, podemos usar a fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] A base do triângulo pode ser a distância entre os pontos \((0, 0)\) e \((2, 2)\), que é \(2\sqrt{2}\), e a altura é a distância do ponto \((1, 3)\) à linha que passa por \((0, 0)\) e \((2, 2)\). No entanto, uma maneira mais simples de calcular a área é usando a fórmula de área com coordenadas: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos \((0, 0)\), \((2, 2)\) e \((1, 3)\): \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0(2 - 3) + 2(3 - 0) + 1(0 - 2) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 6 - 2 \right| = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \] Portanto, a área da região é \(2\). A alternativa correta é: B Área = 2.