Como faço para determinar este intervaldo de Congência em Séries de Potência?

https://www.youtube.com/watch?v=lvwo7vypDwQ ótimo...

Pode ser aplicado o teste da razão:

Seja: \(\sum _{n=2}^{\infty }\:\frac{lnn}{n^3}.x^n\)

Temos:

\(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{\ln \left(\left(n+1\right)\right)}{\left(n+1\right)^3}x^{\left(n+1\right)}}{\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}x^n}\right|\)

\(\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\frac{\ln \left(\left(n+1\right)\right)}{\left(n+1\right)^3}x^{\left(n+1\right)}}{\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}x^n}\right|\right)\)

Vamos simplificar sabendo que \(x^{n+1}= x^n . x\) e que invertemos a fração que está dividindo:

\(\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{\frac{\ln \left(\left(n+1\right)\right)}{\left(n+1\right)^3}x^{\left(n+1\right)}}{\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}x^n}\right|\right)=\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{n^3x\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)\left(n+1\right)^3}\right|\right)\)

\(\left|x\right|\cdot \lim \:_{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{n^3\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)\left(n+1\right)^3}\right|\right)\)

\(\lim _{n\to \infty \:}\left(\left|\frac{n^3\ln \left(n+1\right)}{\ln \left(n\right)\left(n+1\right)^3}\right|\right)=1\)

\(\left|x\right|\cdot \:1=\left|x\right|\)

Para convergir 

\(\left|x\right|<1\)

\(x<1\quad \quad \mathrm{e}\quad \:\quad \:x>-1\)

Para saber se x converge nesses extremos, precisamos substituir \(x=1\) e verificar a convergência; depois substituir \(x=-1\) e verificar a convergência.

Para \(x=1\):

\(\sum _{n=2}^{\infty \:}\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}\cdot \:1^n=\sum _{n=2}^{\infty \:}\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}\)

Podemos aplicar o teste da integral:

\(\int \frac{\ln \left(n\right)}{n^3}dn\)

Integral por partes: 

\(\ln \left(n\right)\left(-\frac{1}{2n^2}\right)-\int \frac{1}{n}\left(-\frac{1}{2n^2}\right)dn\)

\(-\frac{\ln \left(n\right)}{2n^2}-\int \:-\frac{1}{2n^3}dn\)

Logo:

\(\int _2^{\infty \:}\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}dn=\frac{1}{16}+\frac{\ln \left(2\right)}{8}\) .Portanto, converge para \(x=1\).

Para \(x=-1\):

\(\sum _{n=2}^{\infty \:}\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}\left(-1\right)^n\)

pelo teste da série alternada:

\(a_n=\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}\)

\(a_n\) é positiva e decrescente e:

\(\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{\ln \left(n\right)}{n^3}\right)=0\)

Portanto converge em \(x=-1\)

Assim, o intervalo de convergência é : \(\boxed{-1\le \:x\le \:1}\)