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Quando falamos de Relação de recorrência, estamos nos referindo a uma técnica matemática que possibilita definir algumas sequências, operações, conjuntos ou até mesmo algoritmos, com um princípio bem simples, por intermédio de uma regra pode-se calcular qualquer termo em função dos antecessores imediatos.
Sabendo que para a recorrência an = 2 · an-1 + an-2, temos a0 = 2 e a1 = 3, qual o valor de a4.
A 43.
B 46.
C 45.
D 44.

Matematicamente

ano passado

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Avaliação I - Aritmética e Teoria dos Números

Avaliação I - Aritmética e Teoria dos Números

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Ed

ano passado

Para resolver a relação de recorrência dada, precisamos calcular os termos a partir dos valores iniciais e da fórmula. Temos: - \( a_0 = 2 \) - \( a_1 = 3 \) - A relação de recorrência é \( a_n = 2 \cdot a_{n-1} + a_{n-2} \) Vamos calcular os próximos termos até \( a_4 \): 1. Calcular \( a_2 \): \[ a_2 = 2 \cdot a_1 + a_0 = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8 \] 2. Calcular \( a_3 \): \[ a_3 = 2 \cdot a_2 + a_1 = 2 \cdot 8 + 3 = 16 + 3 = 19 \] 3. Calcular \( a_4 \): \[ a_4 = 2 \cdot a_3 + a_2 = 2 \cdot 19 + 8 = 38 + 8 = 46 \] Portanto, o valor de \( a_4 \) é 46. A alternativa correta é: B 46.

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Um problema bem curioso proposto e resolvido por Jacob Steiner (1796-1863) em 1826 é o da Pizza de Steiner. Este problema possui a seguinte formulação:
"Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos?"
a) 11 pedaços.
b) 12 pedaços.
c) 9 pedaços.
d) 10 pedaços.

Uma das operações básicas que você aprendeu deste o ensino fundamental é a divisão. Com essa operação, surge a ideia de divisibilidade que é um tratamento, ou ainda, uma continuação do conceito de múltiplos e divisores.
Sendo assim, qual dos números a seguir NÃO é divisor do 504?
A 18.
B 48.
C 28.
D 21.

O módulo de um número real é definido por uma relação contendo duas regras, uma quando o valor é maior ou igual a zero e outra quando o valor é menor que zero. Outra forma de estudá-lo é interpretando-o como a distância de um número real até o zero, o que é fundamental para utilização em alguns fenômenos físicos.
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. Para a, b naturais, então, |a + b| = |a|+|b| é válido e é natural.
II. Para a, b inteiro, então ||a| + b| = |a + b| é válido e é inteiro.
III. Para a, b inteiro, então, ||a|-|b|| = |a – b| é válido e é inteiro.
IV. Para a, b inteiro, então, |a . b| = |a| . |b| é válido e é inteiro.
A As afirmativas II e III estão corretas.
B Somente a afirmativa I está correta.
C As afirmativas I e IV estão corretas.
D As afirmativas I, II e IV estão corretas.

O sistema de numeração que teve maior importância, contribuindo para as operações aritméticas serem mais simples, é o sistema decimal ou sistema de numeração indo-arábico. Ele foi desenvolvido pelos hindus e popularizado pelos árabes na Europa Ocidental e tomou conta de todo o mundo.
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O número 42 na base 5, representa na base 10 o número 24.
( ) O número 61 na base 10, representa na base 4 o número 331.
( ) O número 212 na base 3, representa na base 10 o número 23.
( ) O número 27 na base 10, representa na base 7 o número 38.
A F - V - V - F.
B V - F - V - F.
C F - F - V - V.
D V - F - F - V.

Saber realizar uma demonstração é, para um professor de matemática, algo extremamente fundamental. Além de conhecer de onde surgem as coisas, desenvolve o raciocínio e a possibilidade em suas aulas, explanando isso com seus alunos.
Analisando cada item do desenvolvimento da demonstração sobre o axioma utilizado, pois o processo de demonstração está correto, podemos afirmar que:
I) então por A1 podemos somar + a em ambos os membros, obtemos (- a + b) + a = 0 + a
II) então por A3 na esquerda e A2 na direita, - a + (b + a) = a + 0
III) então por A2 na esquerda e na direita A4, - a + (a + b) = a
IV) então por A2 na esquerda, (- a + a) + b = a
V) então por A5 na esquerda, 0 + b = a
VI) então por A2 na esquerda, b + 0 = a
VII) então por A4 na esquerda, b = a, como queríamos demonstrar.
A Os itens I, II, III, V, VI e VII estão corretos.
B Os itens I, II, V, VI e VII estão corretos.
C Os itens I, II, III, IV, V e VII estão corretos.
D Os itens I, II, IV, V, VI e VII estão corretos.

Observe a definição da operação de potenciação de números inteiros: "Para x um número inteiro e n um número natural, definimos”
O que nos permite demonstrar a seguinte propriedade da potenciação (xn)m = xn·m. Considerando n fixo podemos realizar a indução sobre m. Nosso objetivo é provar que a afirmação é válida para k + 1, sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Para m = 0, (xn)0 = 1 e xn · 0 = x0 = 1. Logo, (xn)0 = xn · 0 = 1.
( ) A hipótese de indução: para k fixo, k ≥ 0, (xn)k = xn·k.
( ) Para k + 1, (xn)k+1 = xn· k+1, desenvolvendo o membro da esquerda e usando a hipótese de indução, temos (xn)k+1 = (xn)k · (xn)1 = xn·k · xn = xn·k+n = x2n·k+1. Logo a afirmação é verdadeira.
A V - F - F.
B V - V - F.
C F - V - V.
D F - V - F.

A tricotomia nos fornece uma relação muito forte no conjunto dos números inteiros. Diante deste conceito, surgem algumas propriedades para completar a relação de ordem nos números inteiros.
Sobre as propriedades e as operações de ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Transitiva.
II- Antissimétrica.
III- Lei do Cancelamento.
A I - II - III.
B II - I - III.
C III - I - II.
D III - II - I.

A estruturação do conjunto dos números naturais, como conhecemos hoje, levou um longo período para ser construído. Do qual, Giuseppe Peano, matemático italiano, teve papel fundamental na formulação axiomática desse conjunto, que surgiu pela necessidade de contagem.
Sobre os axiomas válidos para a adição nos inteiros, assinale a alternativa CORRETA:
A Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
B Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade do Elemento Inverso.
C Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade do Elemento Inverso.
D Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade da Existência do Elemento Oposto.

Propriedades são para a matemática ferramentas importantes para o desenvolvimento dos cálculos, demonstrações e argumentos, que influenciam na criação de "regras" fundamentadas.
Considerando as operações realizadas e as propriedades apresentadas, com relação às propriedades aplicadas nas operações, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Elemento neutro.
II- Associatividade.
III- Comutatividade.
A II - I - III.
B II - III - I.
C III - II - I.
D I - II - III.