Para resolver a série \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{13 \cdot 23}{2n}\), você pode usar o conceito de somas parciais e a relação que você mencionou. 1. Identifique o termo geral: O termo geral da série é \(a_n = (-1)^{n+1} \frac{13 \cdot 23}{2n}\). 2. Soma parcial: A soma parcial \(S_n\) é dada por: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{13 \cdot 23}{2k} \] 3. Convergência: Como a série é alternada e os termos \(\frac{13 \cdot 23}{2n}\) decrescem para zero, ela converge. 4. Soma da série: Você já mencionou que a soma da série é \(\frac{2}{3}\). Para verificar, você pode calcular as somas parciais e observar o comportamento conforme \(n\) aumenta. 5. Verificação: Após encontrar a soma, sempre verifique se ela está de acordo com o que foi dado ou se faz sentido no contexto do problema. Lembre-se de que, ao trabalhar com séries, é importante garantir que todas as condições de convergência sejam atendidas e que a soma encontrada seja consistente com a série original.