2a_Lista_Respostas_Sugestoes_Solucoes

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S É R I E S E E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S O R D I N Á R I A S 
2 a L i s t a d e Ex e r c í c i o s 
R E S P O S T A S , S U G E S T Õ E S E S O L U Ç Õ E S 
Na resolução dos Exercícios 01 a 04, lembre -se de que conhecido o termo gera l 𝑆𝑛 da sequência 
de somas parcia is de uma sér ie , para de terminar a sér ie resp ect iva basta notar que 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑎𝑛 ⇒ 𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1. 
Mas cu idado: obt ido o 𝑎𝑛 dese jado , não de ixe de ver i f icar sua resposta. 
É c laro que dado 𝑆𝑛 , você poderá dizer se a séri e converge e, quando isso ocorrer, fornecer o 
valor da soma. 
As respostas seguem abaixo: 
01. 

1 )13)(23(
2
nn
, que converge e tem soma 2/3. 
02. 



1
2
)1(
1
nn
nn
, que é uma sér ie divergente. 
03. 


2
)
2
1
(
2
1
n
, que converge com soma 0. 
04. 


2
13.23 n , que não converge. 
Após as respostas dos exercícios 05 a 37 , um comentário apresenta sugestão de proced imento 
para obtenção da so lução. 
05. Convergente , com soma 1/2 . 
A sér ie é de encaixe . 
06. Convergente . 
Faça comparação dire ta c om uma série geométr ica adequada . 
07. Divergente . 
Faça comparação no l imite com a sér ie harmônica . 
08. Convergente , com soma 1. 
Tem-se, aqu i , uma sér ie geométr ica . 
09. Convergente , com soma 1. 
Procure determinar a e b , de modo que 
2𝑛+1
𝑛2(𝑛+1)2
 = 
𝑎
𝑛2
+ 
𝑏
(𝑛+1)2
 . 
10. Convergente , com soma 1/2 . 
A sér ie é de encaixe : 
𝑛!
(𝑛+2)!
 = 
1
(𝑛+1)(𝑛+2)
 . 
11. Convergente , com soma 1. 
Tem-se, mais uma vez, uma série de encaixe . 
De fato , 
1
√𝑛 + 1 . √𝑛 (√𝑛 + 1 + √𝑛)
 = 
1
√𝑛 + 1 . √𝑛 (√𝑛 + 1 + √𝑛)
 .
√𝑛 + 1 − √𝑛
√𝑛 + 1 − √𝑛
 
= 
√𝑛 + 1 − √𝑛
√𝑛 + 1 . √𝑛
 = 
√𝑛 + 1
√𝑛 + 1 . √𝑛
 − 
√𝑛
√𝑛 + 1 . √𝑛
 
= 
1
√𝑛
 − 
1
√𝑛 + 1
 . 
12. Divergente . 
Pode-se fazer uma comparação d ireta com a sér ie divergen t e 

1 1
1
n
 . 
13. Divergente . 
As somas parc iais dessa série correspondem à sequência (−1, 0, −1, 0, … ), que, evidentemente, 
diverge . 
14. Divergente . 
Basta notar que 
2
3𝑛
 = 
2
3
∙
1
𝑛
 . 
15. Convergente , com soma 3/2 . 
A sér ie dada corresponde à soma de duas sér ies geométr icas convergentes . 
16. Convergente , com soma zero . 
Todos os termos da série são nu los . 
17. Divergente . 
O l imite do termo gera l da sér ie não é nulo . 
18. Divergente . 
Faça uma comparação no l imi te com a sér ie harmônica . 
19. Convergente (Convergência Absoluta) . 
Use o Teste da Razão . 
20. Convergente . 
Use o Teste da Ra iz . 
21. Divergente . 
Note que √𝑛 ≤ 𝑛, ∀𝑛 ≥ 1. Assim, 𝑛 + √𝑛 ≤ 𝑛 + 𝑛 = 2𝑛 e, portan to, 
1
𝑛+ √𝑛
 ≥ 
1
2𝑛
 = 
1
2
∙
1
𝑛
 . 
22. Convergente (Convergência Condic ional) . 
Convergência absolu ta não ocorre , pois vemos que a sér ie dos va lores abso lutos d iverge 
quando comparada no l imite com a série harmônica. Por ou tro lado, como log (n + 1) > log n, 
para 𝑛 > 0, segue que 
1
𝑙𝑜𝑔 (𝑛 + 1)
 < 
1
𝑙𝑜𝑔𝑛
 , ∀𝑛 > 0, 
e, além d isso, como 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
 
1
𝑙𝑜𝑔𝑛
= 0, tem-se comprovada a convergência condicional da sér ie . 
23. Convergente . 
Faça uma comparação no l imi te com a sér ie convergente 

1
2 1
1
n
. 
24. Divergente . 
Faça uma comparação no l imi te com a sér ie harmônica . 
25. Convergente . 
Use o Teste da Razão . 
26. Convergente . 
Use o Teste da Integral . 
27. Divergente . 
Observe que |𝑠𝑒𝑛𝑛| ≤ 1 ⇒ 
1
|𝑠𝑒𝑛𝑛|
 ≥ 1 ⇒ |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛| ≥ 1 ⇒ 
|𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛|
√𝑛
 ≥ 
1
√𝑛
 . 
28. Divergente . 
Use o Teste da Razão . 
29. Convergente , com soma 7/8 . 
A sér ie dada é “quase” de enca ixe . 
30. Convergente . 
Faça uma comparação no l imi te com a sér ie 

1
2
1
n
. 
31. Divergente . 
Faça uma comparação no l imi te com a sér ie 

1 1
1
n
. 
32. Convergente . 
Faça uma comparação no l imi te com a sér ie 

1 3
1
n
. 
33. Convergente ( Convergência Condic ional) . 
Repi ta o p roced imento apresen tado para o Exerc ício 22 . 
34. Divergente . 
O l imite do termo gera l da sér ie não é nulo . 
35. Divergente . 
Use o Teste da Razão e lembre-se do l imite fundamenta l que tem como resultado o número “e” . 
36. Convergente (Convergência Absoluta) . 
Note que 
| (−1)𝑛
𝑠𝑒𝑛𝑛2 + 3𝑐𝑜𝑠𝑛
22𝑛
 | = 
| 𝑠𝑒𝑛𝑛2 + 3𝑐𝑜𝑠𝑛 |
4𝑛
 ≤ 
| 𝑠𝑒𝑛𝑛2 | + 3|𝑐𝑜𝑠𝑛|
4𝑛
 ≤ 
1 + 3.1
4𝑛
 = 
1
4𝑛−1
 . 
37. Convergente , com soma 1/2 . 
Note que 
2
16𝑛2 − 8𝑛 − 3
 = 
2
(4𝑛 − 3)(4𝑛 + 1)
 . 
38. O percurso percorr ido pelo a t leta A fo i de 
1
2
 + 
1
4
 + 
1
8
 + ⋯ + 
1
210
= ∑
1
2
(
1
2
)
𝑛−1
= 
1
2
∙
1 − (1/2)10
1 − 1/2
 = 
1023
1024
 ,
10
1
 
enquanto que o percorr ido pelo a t leta B vale 
1
2
 + 
2!
2.3!
 + 
3!
3.4!
 + ⋯ + 
10!
10.11!
 = 
1
1.2
 + 
1
2.3
 +
1
3.4
+ ⋯ +
1
10.11
 
= ∑
1
𝑛(𝑛 + 1)
= ∑ ( 
1
𝑛
− 
1
𝑛 + 1
 ) = 1 −
1
11
10
1
= 
10
11
 ,
10
1
 
o que demonst ra a vi tó r ia do pr imeiro, já que 
1023
1024
 > 
10
11
 . 
39. a) 0,272727 … = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + ⋯ = 
27
100
 + 
27
10.000
 + 
27
1.000.000
 + ⋯ 
= 
27
100
 ( 1 + 
1
100
 + 
1
1002
+ ⋯ ) = ∑
27
100
 (
1
100
)
𝑛−1
= 
27/100
1 − 1/100
 = 3/11 .
∞
1
 
 b) 2,0454545 … = 2 + 0,045 + 0,00045 + 0,0000045 + ⋯ 
= 2 + 
45
1000
 + 
45
100.000
 + 
45
10.000.000
 + ⋯ = 2 + 
45
103
 + 
45
105
 + 
45
107
 + 
45
109
 + ⋯ 
= 2 + 
45
103
 + 
45
103
(
1
102
) + 
45
103
(
1
102
)
2
 + 
45
103
(
1
102
)
3
 + ⋯ = 2 + ∑
45
103
 (
1
102
)
𝑛−1∞
1
 
= 2 + 
45/103
1 − 1/102
 = 
2025
990
 . 
 
40 . A distância procurada é de 84 m, calculada a par t ir d a soma 
12 + 2 ∙
3
4
∙ 12 + 2 ∙ (
3
4
)
2
∙ 12 + 2 ∙ (
3
4
)
3
∙ 12 + ⋯ = 12 + ∑ 24 (
3
4
)
𝑛∞
1
 = 12 + ∑ 24 
3
4
 (
3
4
)
𝑛∞
1
 
= 12 + ∑ 18 (
3
4
)
𝑛
= 12 + 
18
1 − 3/4
 = 84 .
∞
1
 
41. Lembre-se de que toda sequência mo nótona e l imi tada é convergente . 
42. Determine a e b sat i s fazendo 
1
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
 = 
𝑎
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
+ 
𝑏
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
 , 
para concluir que a sér ie dada é de encaixe e tem soma igual a 1/12 . 
43. Use propriedades do logar i tmo para ob ter o 𝑆𝑛 da sér ie e , daí , ver i f icar que o somatório vale 
log2. 
44. O somatór io va le 81/11, pois 













1
226
4
4
3
2
2
0
1
0
2
0
22 3
2
)1(9
3
2
)1(
3
2
3
2
)1(
3
2
3
2
3
2
2
n
n
n
n
n nsen



 













111
1
1
12 9
)2(
99
9/9
)2(
9
9
)2(
9
)3(
)2(
9
n
n
n
n
n
n
n
n
 
 

  

























1
1
1
1
1 9
2
)2(9
9
2
9
2
99
9
2
99
nnn
 
 
11
81
11
18
9
9/21
2
9 


 . 
 
45. Fazendo 𝑘 = 1 + 𝑐 e usando a teor ia re ferente às sér ies geométr icas, conclui -se que 
𝑐 =
√3 − 1
2
 . 
