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Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superfície.
Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa:
A 184 g.
B 198 g.
C 167 g.
D 144 g.
E 123 g.
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Para calcular a massa da chapa com densidade variável, precisamos integrar a função de densidade sobre a área da chapa. A densidade é dada por δ(x, y) = 2x²y e a chapa está delimitada pelo retângulo com vértices (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4). A massa \( M \) pode ser calculada pela integral dupla da densidade sobre a área: \[ M = \iint_R \delta(x, y) \, dA \] onde \( R \) é a região do retângulo. Neste caso, a integral se torna: \[ M = \int_0^3 \int_0^4 2x^2y \, dy \, dx \] Vamos calcular a integral passo a passo: 1. Integral interna (em relação a \( y \)): \[ \int_0^4 2x^2y \, dy = 2x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 2x^2 \cdot \frac{16}{2} = 16x^2 \] 2. Integral externa (em relação a \( x \)): \[ M = \int_0^3 16x^2 \, dx = 16 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 16 \cdot \frac{27}{3} = 16 \cdot 9 = 144 \] Portanto, a massa da chapa é 144 g. A alternativa correta é: D 144 g.

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A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, permitindo o cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial.
Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) = y²x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3. PORQUE II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por: A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.
II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são falsas.
D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

A região D, associada à integral tripla, descreve um sólido tridimensional cuja análise depende da definição precisa dos limites de integração. Esses limites delimitam a extensão das variáveis dentro da região e são essenciais para representar corretamente a forma do sólido.
Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e pela superfície x² + y² + z² = 4. Nesse sentido, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D. PORQUE II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D.
II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4.
A As asserções I e II são falsas.
B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla para uma certa função f:
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano superior. II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π. III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r. IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano superior. É correto o que se afirma em:
I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano superior.
II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π.
III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r.
IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano superior.
A I, II e IV, apenas.
B III e IV, apenas.
C I e III, apenas.
D I, II e III, apenas.
E II e IV, apenas.

Em cálculo de integrais múltiplas, a mudança de variável é uma técnica que transforma a integral sobre um domínio complexo em uma integral sobre um domínio mais simples ou mais conveniente.
Sobre a mudança de variável em integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir: I. A mudança de variável em integrais múltiplas é usada apenas para simplificar a função integrada, sem modificar a forma do domínio de integração. II. Em coordenadas esféricas, a função x² + y² + z² se transforma em ρ². III. Coordenadas polares são especialmente úteis para integrais duplas sobre regiões circulares, pois simplificam a função integrada e os limites de integração. IV. A coordenada Φ em coordenadas esféricas representa a distância radial do ponto à origem. É correto o que se afirma em:
I. A mudança de variável em integrais múltiplas é usada apenas para simplificar a função integrada, sem modificar a forma do domínio de integração.
II. Em coordenadas esféricas, a função x² + y² + z² se transforma em ρ².
III. Coordenadas polares são especialmente úteis para integrais duplas sobre regiões circulares, pois simplificam a função integrada e os limites de integração.
IV. A coordenada Φ em coordenadas esféricas representa a distância radial do ponto à origem.
A I e IV, apenas.
B II, III e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D II e III, apenas.
E I e III, apenas.

O Teorema de Fubini é uma ferramenta essencial no cálculo de integrais duplas, permitindo que a integração sobre uma região bidimensional seja transformada em integrações iteradas unidimensionais.
Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular. II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração. III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos. IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica. É correto o que se afirma em:
I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular.
II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração.
III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos.
IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica.
A I, II e IV, apenas.
B I e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D III e IV, apenas.
E II e III, apenas.

Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo.
Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem novos parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:
A As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
B Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.
C As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e comprimento radial.
D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.
E As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.

O Teorema de Fubini é um resultado fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma integral dupla em uma região R³ seja calculada como uma integral iterada.
Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio. II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo. III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior. IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada. É correto o que se afirma em:
I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio.
II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.
III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior.
IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.
A I, II e III, apenas.
B II e IV, apenas.
C III e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E I e IV, apenas.

Quando a função f(x, y) é igual a 1 em toda a região D no plano, o cálculo da integral dupla sobre essa região se resume a encontrar a área de D.
Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6. PORQUE II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6.
II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla
A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são falsas.
E A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

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