Determine a equação da derivada da função \(h(x) = \frac{x}{x^2 + \operatorname{sen} x}\), para \(0 < x < 1\).

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Para determinar a derivada da função \(h(x) = \frac{x}{x^2 + \operatorname{sen} x}\), podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente afirma que se temos uma função na forma \(h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\), onde \(u(x) = x\) e \(v(x) = x^2 + \operatorname{sen} x\), a derivada \(h'(x)\) é dada por: \[ h'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Agora, vamos calcular \(u'\) e \(v'\): 1. \(u' = 1\) 2. Para \(v = x^2 + \operatorname{sen} x\), temos: - \(v' = 2x + \operatorname{cos} x\) Substituindo na fórmula da derivada: \[ h'(x) = \frac{(1)(x^2 + \operatorname{sen} x) - (x)(2x + \operatorname{cos} x)}{(x^2 + \operatorname{sen} x)^2} \] Simplificando: \[ h'(x) = \frac{x^2 + \operatorname{sen} x - (2x^2 + x \operatorname{cos} x)}{(x^2 + \operatorname{sen} x)^2} \] \[ h'(x) = \frac{-x^2 + \operatorname{sen} x - x \operatorname{cos} x}{(x^2 + \operatorname{sen} x)^2} \] Essa é a equação da derivada da função \(h(x)\) para \(0 < x < 1\).

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ESTÁCIO

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A interpretação geométrica da derivada envolve a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em determinado ponto. Determine a derivada da função \(f(x)=x \cdot \ln x\) no ponto de abscissa \(x=1\).
A) 0
B) 1
C) \(-1\)
D) 2
E) \(-2\)

Em funções compostas, a regra da cadeia é utilizada para calcular a derivada de forma eficiente. Determine a derivada da função dada por \(f(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot\cos x+\cos(\operatorname{sen}(x))\) no ponto de abscissa \(x=\pi\).
A) 0
B) 1
C) \(-1\)
D) \(-\pi\)
E) \(\pi\)

Determine a taxa de crescimento da função f(x) = x3 + 4x2 + 2, em função de x, no ponto x=2 A 20. B 0. C 16. D 12. E 28.

Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variável independente é aplicada para interpretar fenômenos físicos e matemáticos. Seja \( h(x)=\ln (\operatorname{sen} x) \), definida para \( 0

Dada a função abaixo: \( f(x)=\sen(4x^2) \) Calcule \(\frac{d^2}{dx^2}\)
A) \(-64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
B) \(64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
C) \(-8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
D) \(8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
E) \(\sen(4x^2)+\cos(4x^2)\)

Dada a relação \( x^2+x+y^2=1 \), indique uma expressão para a derivada \( y'(prime) \).
A) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+y} \)
B) \( y'(prime)=-\frac{2 x+y}{x+y} \)
C) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+2 y} \)
D) \( y'(prime)=-\frac{2 x-y}{x+y} \)
E) \( y'(prime)=-\frac{x+y}{x+2 y} \)

O conhecimento das principais fórmulas de derivação permite agilizar a obtenção de derivadas de funções usuais. A derivada da função dada por \( f(x)=\cos ^5\left(x^6\right) \) vale:
A) \( f'(prime)(x)=6 \cos ^4\left(x^6\right) \)
B) \( f'(prime)(x)=-6 \cos ^4\left(x^6\right) \cdot \cos \left(x^6\right) \)
C) \( f'(prime)(x)=-6 \cos ^4\left(x^6\right) \cdot \cos \left(x^6\right) \)
D) \( f'(prime)(x)=-30 \cdot \operatorname{sen}\left(x^6\right) \)
E) \( f'(prime)(x)=-30 \mathrm{x}^5 \cos ^4\left(x^6\right) \cdot \operatorname{sen}\left(x^6\right) \)

Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra do quociente. Calcule a derivada abaixo: \[ f'(x) = \frac{a}{\sen(x)} \]
A) \(\frac{\sen(x)'-a\cos(x)}{\sen^2(x)}\)
B) \(\frac{\sen(x)'-a\cos(x)}{\sen(x)}\)
C) \(\frac{\sen(x)'-a\sen(x)}{\cos(x)}\)
D) \(\frac{\sen(x)'-a\cos(x)}{\cos(x)}\)
E) \(\frac{\sen(x)'-a\cos(x)}{\tg(x)}\)

Outros

Determine a equação da derivada da função \(h(x) = \frac{x}{x^2 + \operatorname{sen} x}\), para \(0 < x < 1\).

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A interpretação geométrica da derivada envolve a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em determinado ponto. Determine a derivada da função \(f(x)=x \cdot \ln x\) no ponto de abscissa \(x=1\).
A) 0
B) 1
C) \(-1\)
D) 2
E) \(-2\)

Em funções compostas, a regra da cadeia é utilizada para calcular a derivada de forma eficiente. Determine a derivada da função dada por \(f(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot\cos x+\cos(\operatorname{sen}(x))\) no ponto de abscissa \(x=\pi\).
A) 0
B) 1
C) \(-1\)
D) \(-\pi\)
E) \(\pi\)

Determine a taxa de crescimento da função f(x) = x3 + 4x2 + 2, em função de x, no ponto x=2 A 20. B 0. C 16. D 12. E 28.

Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variável independente é aplicada para interpretar fenômenos físicos e matemáticos. Seja \( h(x)=\ln (\operatorname{sen} x) \), definida para \( 0

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B) \(64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
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D) \(8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
E) \(\sen(4x^2)+\cos(4x^2)\)

Dada a relação \( x^2+x+y^2=1 \), indique uma expressão para a derivada \( y'(prime) \).
A) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+y} \)
B) \( y'(prime)=-\frac{2 x+y}{x+y} \)
C) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+2 y} \)
D) \( y'(prime)=-\frac{2 x-y}{x+y} \)
E) \( y'(prime)=-\frac{x+y}{x+2 y} \)

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A interpretação geométrica da derivada envolve a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em determinado ponto. Determine a derivada da função \(f(x)=x \cdot \ln x\) no ponto de abscissa \(x=1\).A) 0B) 1C) \(-1\)D) 2E) \(-2\)

Em funções compostas, a regra da cadeia é utilizada para calcular a derivada de forma eficiente. Determine a derivada da função dada por \(f(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot\cos x+\cos(\operatorname{sen}(x))\) no ponto de abscissa \(x=\pi\).A) 0B) 1C) \(-1\)D) \(-\pi\)E) \(\pi\)

Determine a taxa de crescimento da função f(x) = x3 + 4x2 + 2, em função de x, no ponto x=2 A 20. B 0. C 16. D 12. E 28.

Calcular a taxa de variação de uma função em relação à variável independente é aplicada para interpretar fenômenos físicos e matemáticos. Seja \( h(x)=\ln (\operatorname{sen} x) \), definida para \( 0

Dada a função abaixo: \( f(x)=\sen(4x^2) \) Calcule \(\frac{d^2}{dx^2}\)A) \(-64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)B) \(64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)C) \(-8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)D) \(8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)E) \(\sen(4x^2)+\cos(4x^2)\)

Dada a relação \( x^2+x+y^2=1 \), indique uma expressão para a derivada \( y'(prime) \).A) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+y} \)B) \( y'(prime)=-\frac{2 x+y}{x+y} \)C) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+2 y} \)D) \( y'(prime)=-\frac{2 x-y}{x+y} \)E) \( y'(prime)=-\frac{x+y}{x+2 y} \)

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B) 1
C) \(-1\)
D) 2
E) \(-2\)

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A) 0
B) 1
C) \(-1\)
D) \(-\pi\)
E) \(\pi\)

Dada a função abaixo: \( f(x)=\sen(4x^2) \) Calcule \(\frac{d^2}{dx^2}\)
A) \(-64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
B) \(64\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
C) \(-8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
D) \(8\sen(4x^2)x^2+8\cos(4x^2)\)
E) \(\sen(4x^2)+\cos(4x^2)\)

Dada a relação \( x^2+x+y^2=1 \), indique uma expressão para a derivada \( y'(prime) \).
A) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+y} \)
B) \( y'(prime)=-\frac{2 x+y}{x+y} \)
C) \( y'(prime)=-\frac{x^2 y}{x+2 y} \)
D) \( y'(prime)=-\frac{2 x-y}{x+y} \)
E) \( y'(prime)=-\frac{x+y}{x+2 y} \)