Como resolver (equações diferenciais) (cos^2x) y'= y^2+1 **Y(0)=0 ** essa é outra y'- 4xy = 12x^3 e^(2x^2) **Y(0)= 7**

(cos(x))^2 * dy/dx = y^2 + 1

A equação diferencial acima é separável.

dy/(y^2 + 1) = dx/(cos(x))^2

Integrando em ambos os lados:

arctan(y) = tan(x) + c

y = tan(tan(x) + c)

Para y(0) = 0, tem-se c = 0.

Logo, y = tan(tan(x)).

y' - 4xy = 12x^3 e^(2x^2)

A equação diferencial acima é linear de primeira ordem.

Fator integrante: e^(∫-4xdx) = e^(-2x^2)

Multiplicando toda a equação por e^(-2x^2):

y'e^(-2x^2) - 4x e^(-2x^2)y = 12x^3

Integrando ambos os lados em relação à x:

∫[d(ye^(-2x^2))/dx]dx = ∫[12x^3]dx

y e^(-2x^2) = 3x^4 + c

y = (3x^4 + c)e^(-2x^2)

Para y(0) = 7, tem-se c = 7.

Logo, y = (3x^4 + 7)e^(-2x^2).