Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo { y ′′ − 2 z ′ − y = 0 y ′ − z ′′ − 2 z = 0 Encontre a solução geral para z(x) Sugestão: Mult...

A solução geral para z(x) do sistema de equações diferenciais é dada pela alternativa B: z(x) = c1*e^(sqrt(2)*x) + c2*e^(-sqrt(2)*x) + c3*cos(x) + c4*sin(x) Para chegar a essa solução, podemos seguir os seguintes passos: 1) Multiplique a primeira equação por D e a segunda equação por (D^2 - 1), onde D representa a derivada em relação a x. Isso nos dá: D*y'' - 2*D*z' - D*y = 0 D*y' - (D^2 - 1)*z' - 2*z = 0 2) Isolando y'' e y' nas equações acima, temos: y'' = 2*z' + y'/D y' = (D^2 - 1)*z' + 2*z/D 3) Substituindo essas expressões na primeira equação original, obtemos: 2*z'' + 3*z' + 2*z = 0 4) Resolvendo a equação acima, encontramos que a solução geral para z(x) é dada por: z(x) = c1*e^(sqrt(2)*x) + c2*e^(-sqrt(2)*x) + c3*cos(x) + c4*sin(x) Portanto, a alternativa correta é a letra B.