Calcular limite da seguinte função sem a regra de L'Hospital

A manha aqui é separar o limite em duas partes:

lim[√(x+2) -√2]/x; x→0 +lim[√(x+6) -√6]/x; x→0

Agora basta multiplicar os numeradores de ambos os limites por seus respectivos conjugados, ficando:

lim{x/x*[√(x+2) +√2]}; x→0 +lim{x/x*[√(x+6) +√6]}; x→0

Agora tá tranquilo, né? Este limite vale (1/2√2) +(1/2√6).

Para resolver esse limite, utilizaremos a propriedade do limite da soma é a soma dos limites, dividindo-o em 2 limites teremos:

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} +\sqrt {x+6} -\sqrt{2} -\sqrt{6} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} +\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+6} -\sqrt{6} }{x} \) 

Para a primeira parcela temos:

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} . \frac{\sqrt {x+2} +\sqrt{2}}{\sqrt {x+2} +\sqrt{2}}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{ x+2 -2 }{x\sqrt {x+2} +\sqrt{2}}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{1 }{\sqrt {x+2} +\sqrt{2}}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} =\frac{1 }{\sqrt {2} +\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

Para a segunda parcela temos:

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+6} -\sqrt{6} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+6} -\sqrt{6} }{x} . \frac{\sqrt {x+6} +\sqrt{6}}{\sqrt {x+6} +\sqrt{6}}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+6} -\sqrt{6} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{ x+6 -6 }{x\sqrt {x+6} +\sqrt{6}}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+6} -\sqrt{6} }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{1 }{\sqrt {x+6} +\sqrt{6}}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} -\sqrt{2} }{x} =\frac{1 }{\sqrt {6} +\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\)

Assim \(\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt {x+2} +\sqrt {x+6} -\sqrt{2} -\sqrt{6} }{x} =\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}\)