Mostre que o ínfimo de um conjunto, quando existe, é único.

Para mostrar que o ínfimo de um conjunto \( A \), quando existe, é único, vamos considerar o seguinte: 1. Definição de ínfimo: O ínfimo de um conjunto \( A \) é o maior número real \( m \) tal que \( m \leq a \) para todo \( a \in A \). 2. Suponha que existam dois ínfimos: Vamos supor que \( m_1 \) e \( m_2 \) são dois ínfimos de \( A \). 3. Propriedades do ínfimo: - Como \( m_1 \) é ínfimo, temos \( m_1 \leq a \) para todo \( a \in A \). - Como \( m_2 \) também é ínfimo, temos \( m_2 \leq a \) para todo \( a \in A \). 4. Comparação entre \( m_1 \) e \( m_2 \): - Como \( m_1 \) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de \( A \), então \( m_1 \leq m_2 \). - Da mesma forma, como \( m_2 \) é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de \( A \), então \( m_2 \leq m_1 \). 5. Conclusão: Se \( m_1 \leq m_2 \) e \( m_2 \leq m_1 \), isso implica que \( m_1 = m_2 \). Portanto, o ínfimo de um conjunto, quando existe, é único.