Neste exercício, será resolvida a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int {1 \over (ax+b)^r}dx = \int (ax+b)^{-r}dx\)

Pelo método da substituição, será criada uma variável \(u\). Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} u=ax+b \\ {du \over dx} = a \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} u=ax+b & (I)\\ dx = {1 \over a}du & (II) \end{matrix} \right.\)

Com as equações \((I)\) e \((II)\), a integral fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int {1 \over (ax+b)^r}dx = {1 \over a} \int u^{-r}du\)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (ax+b)^r}dx = {1 \over a} \Big[ { u^{-r+1} \over -r+1} \Big ]\)

Para o resultado ser possível, é necessário que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} r \ne 1 \\ a \ne 0 \end{matrix} \right.\)

Retornando à variável \(x\), o resultado da integral é:

\(\Longrightarrow \int {1 \over (ax+b)^r}dx = {1 \over a} { (ax+b)^{-r+1} \over -r+1} \)

\(\Longrightarrow \int {1 \over (ax+b)^r}dx = {1 \over a(1-r)} {1 \over (ax+b)^{r-1}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int {1 \over (ax+b)^r}dx = -{1 \over a(r-1) (ax+b)^{r-1}} $}\)