Um corpo move-se ao longo de uma reta de acordo com a lei: v = t3 + 4 t2 + 2. Se x = 4 m quando t = 2 s, determinar o valor de x quando t = 3 s. Deter

Sabemos que a velocidade é a variação da posição pela variação do tempo (v = dx/dt).

Para descobrir a função que descreve a posição, dado que temos a função que descreve a velocidade, devemos integrar a função velocidade. Assim,

∫(t^3 + 4t^2 + 2)dt = x(t) => x(t) = (t^4)/4 + 4(t^3)/3 + 2t + C.

Sabemos que x(t = 2 s) = 4 m, logo, substituindo esses valores na fórmula acima, descobrimos quem é o C ( a constante de integração).

4 =  (2^4)/4 + 4(2^3)/3 + 2*2 + C => 4 = 4 + 32/3 + 4 + C => C = -44/3

Logo, o função posição é:  x(t) = (t^4)/4 + 4(t^3)/3 + 2t - 44/3

Agora queremos saber qual é o x quando t = 3 s.

x(t = 3 s) = (3^4)/4 + 4(3^3)/3 + 2*3 - 44/3

x(t = 3 s) = 81/4 + 36 + 6 - 44/3

x(t = 3 s) = 571/12

Sabemos que:

(v = dx/dt).

Integrando a função, temos:

∫(t^3 + 4t^2 + 2)dt 

x(t) = (t^4)/4 + 4(t^3)/3 + 2t + C.

Como:

x(t = 2 s) = 4 m

Substituindo os valores:

4 =  (2^4)/4 + 4(2^3)/3 + 2*2 + C

4 = 4 + 32/3 + 4 + C

C = -44/3

A posição é definida por:

x(t) = (t^4)/4 + 4(t^3)/3 + 2t - 44/3

Para x quando t = 3 s:

x = (3^4)/4 + 4(3^3)/3 + 2*3 - 44/3

x = 81/4 + 36 + 6 - 44/3

x = 571/12 = 47,583

O valor de x quando t = 3s é de 571/12 ou 47,5 aproximadamente.

Temos que a velocidade é a forma como a posição varia com o tempo, em outras palavras a taxa de variação da posição com respeito ao tempo, quando falamos em taxa de variação estamos nos referindo a derivada na matématica. Sendo assim, como a integração é o oposto da derivação, para fazer o caminho inverso, ir da velocidade para a posição temos que integrar. Vc pode consultar um livro texto para maiores esclarecimentos, o Halliday (Fundamentos da física vol.1) é muito bom, e pode tirar algumas dúvidas :)