Para determinar a transformada de Laplace inversa da função \( J(s) = \frac{12}{(s+2)^{2}(s+4)} \), precisamos aplicar a técnica de frações parciais e, em seguida, usar as tabelas de transformadas de Laplace. 1. Fração parcial: Vamos decompor \( J(s) \) em frações parciais. A forma geral seria: \[ J(s) = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{(s+2)^{2}} + \frac{C}{s+4} \] 2. Multiplicando por \( (s+2)^{2}(s+4) \) e igualando os coeficientes, encontramos os valores de \( A \), \( B \) e \( C \). 3. Transformadas de Laplace: Após encontrar os coeficientes, aplicamos as transformadas inversas: - A transformada inversa de \( \frac{1}{s+a} \) é \( e^{-at} \). - A transformada inversa de \( \frac{1}{(s+a)^{2}} \) é \( t e^{-at} \). Após realizar esses passos, encontramos que a transformada de Laplace inversa de \( J(s) \) resulta em uma combinação de exponenciais e termos de \( t e^{-at} \). Analisando as alternativas: a. \( j(t) = 3 e^{-4 t} - 3 e^{-2 t} + 6 t e^{-2 t} u(t) \) - Esta opção parece correta, pois inclui os termos esperados. b. \( j(t) = 3 e^{-3 t} - 3 e^{-3 t} + 6 t e^{-4 t} u(t) \) - Não parece correta, pois os expoentes não correspondem. c. \( j(t) = 3 e^{-4 t} + 6 t e^{-2 t} u(t) \) - Falta um termo negativo. d. \( j(t) = 12 e^{-12 t} - 2 e^{-2 t} + 4 t e^{-4 t} u(t) \) - Não corresponde aos termos. e. \( j(t) = 12 e^{-4 t} - 2 e^{-2 t} + 4 t e^{-2 t} u(t) \) - Não corresponde aos termos. Portanto, a alternativa correta é: a. j(t) = 3 e^{-4 t} - 3 e^{-2 t} + 6 t e^{-2 t} u(t).