13.- Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x^{2}+y^{2}-4 x+6 y-17=0 que sea tangente a la recta 3 x-4 y+7=0.

Para encontrar a equação da circunferência concêntrica à circunferência dada e que seja tangente à reta, vamos seguir os passos: 1. Identificar a circunferência original: A equação dada é \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0\). Vamos reescrevê-la na forma padrão. - Agrupando os termos: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 17 \] - Completando o quadrado: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 17 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 30 \] - Portanto, a circunferência original tem centro \(C(2, -3)\) e raio \(r = \sqrt{30}\). 2. Encontrar a distância da circunferência à reta: A reta dada é \(3x - 4y + 7 = 0\). Usamos a fórmula da distância de um ponto à reta: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] onde \(A = 3\), \(B = -4\), \(C = 7\) e \((x_0, y_0) = (2, -3)\). - Calculando: \[ d = \frac{|3(2) - 4(-3) + 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 + 7|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{25}{5} = 5 \] 3. Determinar o novo raio: A nova circunferência deve ser tangente à reta, então o raio \(R\) da nova circunferência será a distância da circunferência original à reta mais o raio da circunferência original: \[ R = d + r = 5 + \sqrt{30} \] 4. Escrever a equação da nova circunferência: A nova circunferência, que é concêntrica, terá a mesma forma que a original, mas com o novo raio: \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = (5 + \sqrt{30})^2 \] 5. Expandir o raio: \[ (5 + \sqrt{30})^2 = 25 + 10\sqrt{30} + 30 = 55 + 10\sqrt{30} \] Portanto, a equação da nova circunferência é: \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 55 + 10\sqrt{30} \]