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Considere o triângulo $A B C$ de lados $a=B C, b=A C$ e $c=A B$ e ângulo internos $\alpha=\mathrm{C} \widehat{A} B, \beta=\mathrm{A} \widehat{B} \mathrm{C}$ e $\gamma=\mathrm{B} \widehat{\mathrm{C}}$. Sabendo-se que a equação $x^{2}-2 b x \cos \alpha+b^{2}-a^{2}=0$, admite $\mathbf{c}$ como raiz dupla, pode-se afirmar que
A) $\alpha=90^{\circ}$
B) $\beta=60^{\circ}$
C) $\gamma=60^{\circ}$
D) O triângulo é retângulo apenas se $\alpha=45^{\circ}$.
E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
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Matematicamente

há 9 meses

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há 9 meses

Mat 1 1-2
7 pág.

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há 9 meses

Para resolver essa questão, vamos analisar a equação dada: \[ x^{2} - 2b x \cos \alpha + b^{2} - a^{2} = 0. \] Sabemos que uma equação quadrática admite uma raiz dupla quando seu discriminante é igual a zero. O discriminante \( D \) da equação \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) é dado por: \[ D = B^2 - 4AC. \] No nosso caso, temos: - \( A = 1 \) - \( B = -2b \cos \alpha \) - \( C = b^{2} - a^{2} \) Portanto, o discriminante é: \[ D = (-2b \cos \alpha)^{2} - 4(1)(b^{2} - a^{2}) = 4b^{2} \cos^{2} \alpha - 4(b^{2} - a^{2}). \] Para que a equação tenha uma raiz dupla, devemos ter \( D = 0 \): \[ 4b^{2} \cos^{2} \alpha - 4(b^{2} - a^{2}) = 0. \] Dividindo tudo por 4, obtemos: \[ b^{2} \cos^{2} \alpha = b^{2} - a^{2}. \] Rearranjando, temos: \[ b^{2} \cos^{2} \alpha + a^{2} = b^{2}. \] Isso implica que: \[ a^{2} = b^{2}(1 - \cos^{2} \alpha) = b^{2} \sin^{2} \alpha. \] Assim, podemos concluir que: \[ \frac{a}{b} = \sin \alpha. \] Se \( \alpha = 90^{\circ} \), então \( \sin \alpha = 1 \) e \( a = b \), o que caracteriza um triângulo retângulo. Agora, analisando as alternativas: A) \( \alpha = 90^{\circ} \) - Esta é uma possibilidade, pois o triângulo pode ser retângulo. B) \( \beta = 60^{\circ} \) - Não podemos afirmar isso com as informações dadas. C) \( \gamma = 60^{\circ} \) - Também não podemos afirmar isso. D) O triângulo é retângulo apenas se \( \alpha = 45^{\circ} \) - Isso não é verdade, pois \( \alpha \) pode ser \( 90^{\circ} \). E) O triângulo é retângulo e \( b \) é hipotenusa - Não podemos afirmar que \( b \) é a hipotenusa, pois depende da configuração do triângulo. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \alpha = 90^{\circ} \).

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A área de um triângulo é dada pela fórmula $A=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}$ onde a e b são dois de seus lados. Determine (em graus) a medida do maior dos ângulos do triângulo.
A) $120^{\circ}$
B) $90^{\circ}$
C) $75^{\circ}$
D) $60^{\circ}$
E) $45^{\circ}$

Calcule o valor de $\operatorname{cossec}^{6} 10^{\circ}-\operatorname{cotg}^{6} 10^{\circ}-3 \cdot \operatorname{cossec}^{2} 10^{\circ} \cdot \operatorname{cotg}^{2} 10^{\circ}$.
A) 1
B) -1
C) 2
D) $\frac{1}{2}$
E) $\frac{1}{3}$

Nessa figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro AD, $\mathrm{AC}=\mathrm{CO}, \mathrm{BAD}=\alpha$ e $\mathrm{BCD}=\theta$. Demonstre que $\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}+\frac{1}{\operatorname{tg} 2 \alpha}=\frac{2}{\operatorname{tg} \theta}$.

A área do triângulo BDC é
A) $\frac{d_{1}+d_{2}}{\operatorname{cotg} \alpha-\operatorname{cotg} \beta}$
B) $\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2(\operatorname{cotg} \alpha+\operatorname{cotg} \beta)}$
C) $\frac{d_{1}+d_{2}}{2(\operatorname{cotg} \alpha-\operatorname{cotg} \beta)}$
D) $\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2 \operatorname{cotg} \alpha-\operatorname{cotg} \beta}$
E) $\frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2(\operatorname{cotg} \alpha-\operatorname{cotg} \beta)}$

Em um triângulo $A B C$ retângulo em $A$, seja $D$ a projeção de $A$ sobre $\widehat{C} B$. Sabendo que o segmento $\overrightarrow{B D}$ mede $\ell \mathrm{cm}$ e que o ângulo $D A ̃ C$ mede $\theta$ graus, então a área do triângulo $A B C$ vale:
A) $\frac{\ell^{2}}{2} \sec \theta \cdot \operatorname{tg} \theta$
B) $\frac{\ell^{2}}{2} \sec ^{2} \theta \cdot \operatorname{tg} \theta$
C) $\frac{\ell^{2}}{2} \sec \theta \cdot \operatorname{tg}^{2} \theta$
D) $\frac{\ell^{2}}{2} \operatorname{cossec} \theta \cdot \operatorname{cotg} \theta$
E) $\frac{\ell^{2}}{2} \operatorname{cossec}^{2} \theta \cdot \operatorname{cotg} \theta$

Um triângulo $A B C$ apresenta lados $a, b$ e $c$. Sabendo que $\hat{B}$ e $\hat{C}$ são, respectivamente, os ângulos opostos aos lados b e c, o valor de $\frac{\operatorname{tg} \hat{B}}{\operatorname{tg} C}$ é
A) $\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}} \frac{c}{b}$
B) $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}$
C) $\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$
D) $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}+c^{2}} \frac{c}{b}$
E) $\frac{b}{c}$

Em um triângulo de vértice $A, B$ e $C$ são dados $\hat{B}=\frac{\pi}{2}, \hat{C}=\frac{\pi}{3}$ e o lado $B C=1 \mathrm{~cm}$. Se o lado $\overrightarrow{A B}$ é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo $A B C$ externa à circunferência, em $\mathrm{cm}^{2}$, é
A) $\frac{\pi}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{16}$
B) $\frac{5 \sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{2}$
C) $\frac{5 \pi}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
D) $\frac{5 \sqrt{3}}{16}-\frac{\pi}{8}$
E) $\frac{5 \pi}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{16}$

Considere um ponto $P$ em uma circunferência de raio $\mathbf{r}$ no plano cartesiano. Seja $Q$ a projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $\mathbf{x}$, como a figura a seguir, e suponha que o ponto $P$ percorra, no sentido anti-horário, uma distância $d \leq r$ sobre a circunferência. Então, o ponto $Q$ percorrerá, no eixo $\mathbf{x}$, uma distância dada por
A) $r\left(1-\operatorname{sen} \frac{d}{r}\right)$
B) $r\left(1-\cos \frac{d}{r}\right)$
C) $r\left(1-\operatorname{tg} \frac{d}{r}\right)$
D) $r \operatorname{sen}\left(\frac{r}{d}\right)$
E) $r \cos \left(\frac{r}{d}\right)$

Em uma coroa circular (conforme a figura a seguir) estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o raio da circunferência externa da coroa mede
A) $\frac{1+\operatorname{sen} \pi / n}{1-\operatorname{sen} \pi / n}$
B) $\frac{1+\cos \pi / n}{1-\operatorname{sen} \pi / n}$
C) $\frac{1+\operatorname{sen} 2 \pi / n}{1-\operatorname{sen} 2 \pi / n}$
D) $\frac{1+\cos 2 \pi / n}{1-\cos 2 \pi / n}$
E) $\frac{1+\cos 2 \pi / n}{1-\operatorname{sen} 2 \pi / n}$

Em um triângulo retângulo $A B C\left(A=90^{\circ}\right)$, tem-se cotg $\hat{C}+$ cotg $\hat{B}=4$, então o valor de $16 \operatorname{sen} \hat{B} \cdot \operatorname{sen} \hat{C} \cdot \cos \hat{B} \cdot \cos \hat{C}$ é igual a
A) $\frac{1}{2}$
B) 1
C) 2
D) $\frac{1}{3}$
E) 3

Se $\mathbf{x}$ é um ângulo agudo e $\frac{\sec \left(3 x-15^{\circ}\right)}{2}=\frac{\operatorname{sen} 10^{\circ}+\operatorname{sen} 20^{\circ}+\ldots+\operatorname{sen} 80^{\circ}}{\cos 10^{\circ}+\cos 20^{\circ}+\ldots+\cos 80^{\circ}}$, então $\mathbf{x}$ é igual a
A) $15^{\circ}$
B) $12,5^{\circ}$
C) $16^{\circ}$
D) $37^{\circ}$
E) $25^{\circ}$

Se $A B C D$ é um quadrado, com $m(E \hat{B} A)=53^{\circ}, m(D \hat{C} E)=\alpha$, $m(B \hat{E} A)=90^{\circ}$, então o valor de $5 \sqrt{10} \cdot \cos \alpha$ é
A) 18
B) 15
C) 12
D) 9
E) 6

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