Como calcular o foco de uma elipse?

Não sei exatamente da definição(aconselho pesquisar), segue um exemplo abaixo.

Por exemplo, Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a



onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:


Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2  = b2 ,a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2 
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:



que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como  a2 – c2  = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:

Vamos utilizar um exemplo para explicar melhor:

1- Determine os focos da elipse de equação \(9x^2+36y^2=144\):

A equação na forma reduzida é dada por:

\({9x^2 \over144} + {36y^2 \over 144} = {144 \over 144} \\ Simplificando: \\ {x^2 \over 16}+{y^2 \over 4}=1\)

onde 16>4 é o eixo maior e está na abscissa

a²=16 

a=4

b²=4

b=2

a²=b²+c² 

4²=2²+c² 

c²=12

Portanto os focos são F₁(12,0) e F₂(–12,0)