Para resolver essa questão, vamos usar as informações dadas sobre o triângulo retângulo. 1. Dados do problema: - Hipotenusa (c) = 15 cm - Perímetro (P) = 36 cm - Perímetro é a soma dos lados: \( a + b + c = 36 \), onde \( a \) e \( b \) são os catetos. 2. Substituindo a hipotenusa: \[ a + b + 15 = 36 \] \[ a + b = 21 \] 3. Usando o Teorema de Pitágoras: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \] 4. Agora temos um sistema de duas equações: - \( a + b = 21 \) - \( a^2 + b^2 = 225 \) 5. Substituindo \( b \) na segunda equação: \[ b = 21 - a \] \[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \] \[ a^2 + (441 - 42a + a^2) = 225 \] \[ 2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0 \] \[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \] \[ a^2 - 21a + 108 = 0 \] 6. Resolvendo a equação quadrática: Usando a fórmula de Bhaskara: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ a = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 432}}{2} \] \[ a = \frac{21 \pm 3}{2} \] Portanto, \( a = 12 \) ou \( a = 9 \). 7. Encontrando os catetos: Se \( a = 12 \), então \( b = 9 \) e vice-versa. 8. Calculando a área: A área \( A \) de um triângulo retângulo é dada por: \[ A = \frac{a \cdot b}{2} \] \[ A = \frac{12 \cdot 9}{2} = \frac{108}{2} = 54 \, \text{cm}^2 \] Portanto, a área da região delimitada por esse triângulo é de 54 cm². A alternativa correta é: b) 54 cm².