O número complexo z = (1 - cos a)/(sen a cos a) + i(1 - 2 cos a + 2 sen a)/(sen 2a), a ∈ ]0, π/2[, tem argumento π/4. Neste caso, a é igual a:
A) π/6
B) π/3
C) π/4
D) π/5
E) π/9

Question

O número complexo z = (1 - cos a)/(sen a cos a) + i(1 - 2 cos a + 2 sen a)/(sen 2a), a ∈ ]0, π/2[, tem argumento π/4. Neste caso, a é igual a:
A) π...

Ed · Answer

Para determinar o valor de $ a $ que faz com que o número complexo $ z $ tenha argumento $ \frac{\pi}{4} $, precisamos analisar a parte real e a parte imaginária de $ z $.

O argumento de um número complexo $ z = x + iy $ é dado por $ \tan^{-1}(\frac{y}{x}) $. Para que o argumento seja $ \frac{\pi}{4} $, precisamos que $ \frac{y}{x} = 1 $, ou seja, $ y = x $.

Vamos analisar as partes real e imaginária de $ z $:

1. Parte real: $ x = \frac{1 - \cos a}{\sin a \cos a} $
2. Parte imaginária: $ y = \frac{1 - 2 \cos a + 2 \sin a}{\sin 2a} $

Igualando as duas partes, temos:

$$
\frac{1 - 2 \cos a + 2 \sin a}{\sin 2a} = \frac{1 - \cos a}{\sin a \cos a}
$$

Agora, vamos simplificar e resolver essa equação. No entanto, para facilitar, podemos testar as alternativas dadas:

A) $ a = \frac{\pi}{6} $
B) $ a = \frac{\pi}{3} $
C) $ a = \frac{\pi}{4} $
D) $ a = \frac{\pi}{5} $
E) $ a = \frac{\pi}{9} $

Testando cada uma:

1. Para $ a = \frac{\pi}{4} $:
   - $ x = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2} $
   - $ y = \frac{1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin(\frac{\pi}{2})} = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 1 $

Aqui, $ y $ não é igual a $ x $.

2. Para $ a = \frac{\pi}{3} $:
   - $ x = \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $
   - $ y = \frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin(\frac{2\pi}{3})} = \frac{1 - 1 + \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 $

Aqui, $ y $ não é igual a $ x $.

3. Para $ a = \frac{\pi}{6} $:
   - $ x = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
   - $ y = \frac{1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1 - \sqrt{3} + 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $

Aqui, $ y = x $.

Portanto, a alternativa correta é: **A) $ \frac{\pi}{6} $**.

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Se a ∈ ℝ é tal que 3y² - y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação 3^(2x+1) - 3^x + a = 0 é:
A) log₂6
B) -log₂6
C) log₃6
D) -log₃6
E) 1 - log₃6

O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x⁴ - 20x³ + a x² - 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:
A) 36
B) 41
C) 26
D) -27
E) -20

Se z = 1 + i√3, z · w̅ = 1 e α ∈ [0, 2π] é um argumento de z · w, então α é igual a:
A) π/3
B) π
C) 2π/3
D) 5π/3
E) 3π/2

Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x + y)^m, temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é:
A) 80
B) 90
C) 70
D) 100
E) 60

A respeito das combinações aₙ = C(2n, n) e bₙ = C(2n, n-1), temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferença aₙ - bₙ é igual a:
A) n!/(n+1) aₙ
B) 2n/(n+1) aₙ
C) n/(n+1) aₙ
D) 2/(n+1) aₙ
E) 1/(n+1) aₙ

Considere a matriz A = [1 1 1 1; 1 2 3 4; 1 4 9 16; 1 8 27 64]. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen²2β - 2cos2β = 0, então senα é igual a:
A) √2/2
B) ⁴√2/2
C) ⁴√8/2
D) ⁴√8/4
E) zero

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Se a ∈ ℝ é tal que 3y² - y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação 3^(2x+1) - 3^x + a = 0 é:A) log₂6B) -log₂6C) log₃6D) -log₃6E) 1 - log₃6

O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x⁴ - 20x³ + a x² - 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:A) 36B) 41C) 26D) -27E) -20

Se z = 1 + i√3, z · w̅ = 1 e α ∈ [0, 2π] é um argumento de z · w, então α é igual a:A) π/3B) πC) 2π/3D) 5π/3E) 3π/2

Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x + y)^m, temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é:A) 80B) 90C) 70D) 100E) 60

A respeito das combinações aₙ = C(2n, n) e bₙ = C(2n, n-1), temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferença aₙ - bₙ é igual a:A) n!/(n+1) aₙB) 2n/(n+1) aₙC) n/(n+1) aₙD) 2/(n+1) aₙE) 1/(n+1) aₙ

Considere a matriz A = [1 1 1 1; 1 2 3 4; 1 4 9 16; 1 8 27 64]. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen²2β - 2cos2β = 0, então senα é igual a:A) √2/2B) ⁴√2/2C) ⁴√8/2D) ⁴√8/4E) zero

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C) log₃6
D) -log₃6
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A) 36
B) 41
C) 26
D) -27
E) -20

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A) π/3
B) π
C) 2π/3
D) 5π/3
E) 3π/2

Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x + y)^m, temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é:
A) 80
B) 90
C) 70
D) 100
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A respeito das combinações aₙ = C(2n, n) e bₙ = C(2n, n-1), temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferença aₙ - bₙ é igual a:
A) n!/(n+1) aₙ
B) 2n/(n+1) aₙ
C) n/(n+1) aₙ
D) 2/(n+1) aₙ
E) 1/(n+1) aₙ

Considere a matriz A = [1 1 1 1; 1 2 3 4; 1 4 9 16; 1 8 27 64]. A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen²2β - 2cos2β = 0, então senα é igual a:
A) √2/2
B) ⁴√2/2
C) ⁴√8/2
D) ⁴√8/4
E) zero